代数系统

二元运算及其性质

一元运算的定义

设 $S$ 为集合，函数 $f: S \to S$ 称为 $S$ 上的一元运算，简称为一元运算。

二元运算的定义

设 $S$ 为集合，函数 $f: S \times S \to S$ 称为 $S$ 上的二元运算，简称为二元运算。

$S$ 中任意两个元素都可以进行运算，且运算结果唯一。
二元运算的运算结果仍然属于 $S$，即运算封闭。

一元运算和二元运算的表示方法

算符：$\oplus, \odot, \cdots$，$x \oplus y, \Delta x, \cdots$
解析公式
运算表

二元运算的性质

单个二元运算的性质

交换律：若 $\forall x, y \in S, x \circ y = y \circ x$，则称 $\circ$ 满足交换律。
结合律：若 $\forall x, y, z \in S, (x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$，则称 $\circ$ 满足结合律。
幂等律：若 $\forall x \in S, x \circ x = x$，则称 $\circ$ 满足幂等律。

多个二元运算的性质

分配律：若 $\forall x, y, z \in S, x \circ (y \bullet z) = (x \circ y) \bullet (x \circ z) 且 (y \bullet z) \circ x = (y \circ x) \bullet (z \circ x)$，则称 $\circ$ 对 $\bullet$ 满足分配律。
吸收律：若 $\forall x, y \in S, x \circ (x \bullet y) = x$，则称 $\circ$ 对 $\bullet$ 满足吸收律。

特异元素

单位元

左单位元：若 $\forall x \in S, e_l \circ x = x$，则称 $e_l$ 为 $\circ$ 的左单位元。
右单位元：若 $\forall x \in S, x \circ e_r = x$，则称 $e_r$ 为 $\circ$ 的右单位元。
单位元：若 $e$ 既是左单位元又是右单位元，则称 $e$ 为 $\circ$ 的单位元，也称为幺元。

零元

左零元：若 $\forall x \in S, \theta_l \circ x = \theta_l$，则称 $\theta_l$ 为 $\circ$ 的左零元。
右零元：若 $\forall x \in S, x \circ \theta_r = \theta_r$，则称 $\theta_r$ 为 $\circ$ 的右零元。
零元：若 $\theta$ 既是左零元又是右零元，则称 $\theta$ 为 $\circ$ 的零元。

逆元

若二元运算存在单位元 $e$：

左逆元：若 $\forall x \in S, x \circ x^{-1} = e$，则称 $x^{-1}$ 为 $x$ 的左逆元。
右逆元：若 $\forall x \in S, x^{-1} \circ x = e$，则称 $x^{-1}$ 为 $x$ 的右逆元。
逆元：若 $x$ 既有左逆元又有右逆元，则称 $x^{-1}$ 为 $x$ 的逆元。
可逆的：若 $\forall x \in S, \exists x^{-1} \in S, x \circ x^{-1} = x^{-1} \circ x = e$，则称 $x$ 可逆。

唯一性定理：若 $x$ 有左逆元 $y_l$ 和右逆元 $y_r$，则 $y_l = y_r$，且 $y_l$ 为 $x$ 的逆元。

运算表

运算表与运算性质

封闭性：运算表中的元素都在集合中。
交换律：运算表关于主对角线对称。
幂等性：运算表主对角线上的元素均与表头元素相同。
结合律：判断比较复杂，一般通过运算表无法判断。
- 需要针对运算元素的每种选择进行验证，若 $|A| = n$，一般需要验证 $n^3$ 个等式.

运算表与特异元素

有幺元：该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相一致；
有零元：该元素所对应的行和列中的元素都与该元素相同；
设 $A$ 中有幺元，$a$ 和 $b$ 互逆，当且仅当位于 $a$ 所在行，$b$ 所在列的元素以及 b 所在行，a 所在列的元素都是幺元。

代数系统

非空集合 $S$ 与 $S$ 上的 $k$ 一元或二元运算构成的系统称为代数系统，简称代数。记作：$\langle S, f_1, f_2, \cdots, f_k \rangle$。

代数系统的成分

非空集合：$S$，也叫载体。
运算：$S$ 上的一元或二元运算。
代数常数：代数系统中的特异元素。

实例： $V_1 = \langle \mathbb{Z},+,0 \rangle$, $V_2 = P(S), \cup, \cap, \varnothing, S$

子代数系统

设 $V = \langle S, f_1, f_2, \cdots, f_k \rangle$ 是一个代数系统，若 $S’ \subseteq S$，且 $S’$ 与 $V$ 中的运算在 $S’$ 上封闭，则称 $V’ = \langle S’, f_1, f_2, \cdots, f_k \rangle$ 是 $V$ 的子代数系统，简称子代数。

有时会将子代数系统简记为 $S’$。

特殊的子代数系统

最大的子代数：$V$ 本身。
最小的子代数：若 $V$ 中所有的代数常数构成的代数系统对 $V$ 中的运算封闭，则该代数系统是 $V$ 的最小子代数。
平凡的子代数：最大的子代数和最小的子代数。
真子代数：不是 $V$ 本身的子代数。即 $S’ \varsubsetneqq S$。

积代数

设 $V_1 = \langle A, \circ \rangle$ 和 $V_2 = \langle B, \bullet \rangle$ 是同类型的代数系统，在 $A \times B$ 上定义二元运算 $\odot$： $$\forall <a_1, b_1>, <a_2, b_2> \in A \times B, <a_1, b_1> \odot <a_2, b_2> = \langle a_1 \circ a_2, b_1 \bullet b_2 \rangle$$ 称 $V = \langle A \times B, \odot \rangle$ 为 $V_1$ 和 $V_2$ 的积代数，记作 $V = V_1 \times V_2$，此时也称 $V_1$ 和 $V_2$ 是 $V$ 的因子代数。

代数系统的同态与同构

代数系统的同态

$V_1 = \langle A, \circ \rangle$ 和 $V_2 = \langle B, \bullet \rangle$ 是同类型的代数系统，若存在映射 $f: A \to B$，且满足： $$\forall x, y \in A, f(x \circ y) = f(x) \bullet f(y)$$ 则称 $f$ 是 $V_1$ 到 $V_2$ 的同态映射，简称同态。

同态的分类

单同态：若 $f$ 是单射，则称 $f$ 是单同态。
满同态：若 $f$ 是满射，则称 $f$ 是满同态，此时称 $V_2$ 是 $V_1$ 的同态像。记作 $V_1 \sim V_2$。
同构：若 $f$ 是双射，则称 $f$ 是同构映射，$V_1$ 和 $V_2$ 是同构的，记作 $V_1 \cong V_2$。
自同态：若 $V_1 = V_2$，则称 $f$ 是 $V_1$ 的自同态。

群与环

群、子群与陪集

群的定义

半群：设 $V = \langle S, \circ \rangle$ 是一个代数系统，若 $\circ$ 是可结合的，则称 $V$ 是一个半群。
独异点：设 $V = \langle S, \circ \rangle$ 是一个半群，若 $V$ 中存在单位元 $e$，则称 $V$ 是一个含幺半群，也称为独异点。
群：设 $V = \langle S, \circ \rangle$ 独异点，若 $V$ 中任意元素 $a$ 都有逆元，则称 $V$ 是一个群，通常将群记作 $G$。

实例：

$\langle \mathbb{Z}^+, + \rangle$ 是半群
$\langle \mathbb{N}, + \rangle$ 是含幺半群
$\langle \mathbb{Z}, + \rangle$ 是群
Klein 四元群 $G = \lbrace e, a, b, c \rbrace$，满足交换律，每个元素都是自己的逆元，$a, b, c$ 中任意两个元素的运算结果都是第三个元素。

有关群的术语与性质

有限群：群 $G$ 是有限集。
群的阶：群 $G$ 的基数称为 $G$ 的阶，记作 $|G|$。
平凡群：只有一个元素的群。（即只含单位元的群）
阿贝尔群：满足交换律的群，也称为交换群。
元素的幂：设 $a \in G, n \in \mathbb{Z}$，定义 $a^n$ 为：$a^n = \begin{cases} a^{n -1} a & n > 0 \newline e & n = 0 \newline (a^{-1})^n & n < 0 \end{cases}$
元素的阶：设 $a \in G$，若存在最小的正整数 $n$ 使得 $a^n = e$，则称 $n$ 为 $a$ 的阶，称 $a$ 为 $n$ 阶元，若不存在这样的 $n$，称 $a$ 为无限阶元。
- $e$ 是 $\color{cyan}1$ 阶元

幂运算的性质

$\forall a \in G, \left(a^{-1}\right)^{-1} = a$
$\forall a, b \in G, (ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$
$\forall a \in G, a^n a^m = a^{n + m}$
$\forall a \in G, (a^n)^m = a^{nm}$
$G 是交换群 \Rightarrow \forall a, b \in G, (ab)^n = a^n b^n$

阶的性质

$\forall a \in G, a^k = e \Rightarrow |a| | k$
$\forall a \in G, |a| = |a^{-1}|$

$a, b \in G 且是有限阶元 \left|b^{-1} a b\right| = |a|$

消去律

$a, b, c \in G$

$ab = ac \Rightarrow b = c$
$ba = ca \Rightarrow b = c$

$$G = {a_1, a_2, \cdots, a_n}, a_iG = \lbrace a_i a_j \ | \ a_j \in G \rbrace = G$$

设群 $G$ 为有限群，则 $G$ 中阶大于 $2$ 的元素有偶数个。

若 $a^2 = e$，则 $a = a^{-1}$
故 $G$ 中阶大于 $2$ 的元素要成对出现。

$\forall x, b \in G$, 方程 $ax = b$ 和 $ya = b$ 在 $G$ 中存在唯一解。

无零元

若 $G$ 中存在零元 $\theta$，则有 $\forall x \in G, x \theta = \theta x = \theta \neq x$，故 $G$ 中不存在零元。

子群与群的陪集分解

子群

设 $G$ 是一个群，若 $H$ 是 $G$ 的一个非空子集，且 $H$ 对 $G$ 的运算构成一个群，则称 $H$ 是 $G$ 的一个子群，记作 $H \leq G$。若 $H$ 是 $G$ 的子群，且 $H \neq G$，则称 $H$ 是 $G$ 的真子群，记作 $H < G$。

对任何群 $G$ 都存在子群。$G$ 和 $\lbrace e \rbrace$ 都是 $G$ 的子群，称为 $G$ 的平凡子群。

子群的判定

使用定义验证：
- $\forall a, b \in H, ab \in H$
- $\forall a \in H, a^{-1} \in H$
$H \neq \varnothing, \forall a, b \in H, ab^{-1} \in H$
$H \neq \varnothing$，且 $H$ 是有穷的，$\forall a, b \in H, ab \in H$

生成子群

设 $G$ 是一个群，$a \in G$，令 $H = \lbrace a^k \ | \ k \in \mathbb{Z} \rbrace$，则 $H$ 是 $G$ 的一个子群，称 $H$ 是由 $a$ 生成的子群，记作 $H = \langle a \rangle$。

由子集生成的子群

$B \subseteq G$ $$\langle B \rangle = \bigcap \lbrace H \ | \ B \subseteq H \land H \leq G \rbrace$$

中心

$$C = \lbrace a \in G \ | \ \forall x \in G, ax = xa \rbrace$$ 称 $C$ 为 $G$ 的中心，$C$ 是 $G$ 的一个子群。

子群的并和交

设 $G$ 是一个群，$H_1, H_2$ 是 $G$ 的两个子群，则

$H_1 \cap H_2$ 是 $G$ 的子群
$H_1 \cup H_2$ 当且仅当 $H_1 \subseteq H_2$ 或 $H_2 \subseteq H_1$ 时是 $G$ 的子群

子群格

$$L(G) = \lbrace H \ | \ H \leq G \rbrace$$ 则偏序集 $\langle L(G), \subseteq \rangle$ 称为 $G$ 的子群格。

子群格

陪集

有 $a \in G, H \leq G$

$Ha = \lbrace ha \ | \ h \in H \rbrace$ 称为 $H$ 的右陪集
$aH = \lbrace ah \ | \ h \in H \rbrace$ 称为 $H$ 的左陪集

下面主要讨论右陪集。

$a$ 为 $Ha$ 或 $aH$ 的代表元素。

陪集的性质

$H = H$
$\forall a \in G, a \in Ha$
$a \in Hb \Leftrightarrow ab^{-1} \in H \Leftrightarrow Ha = Hb$

定义等价关系 $R$： $$aRb \Leftrightarrow a \in Hb \Leftrightarrow ab^{-1} \in H$$ $$[a]_R = Ha$$

$\forall a, b \in G, Ha = Hb \overline{\lor} Ha \cap Hb = \varnothing$
$\bigcup \lbrace Ha \ | \ a \in G \rbrace = G$
$H \approx Ha$，即 $|H| = |Ha|$

正规子群：若 $H$ 是 $G$ 的子群，且 $\forall a \in G, Ha = aH$，则称 $H$ 是 $G$ 的正规子群，也称 不变子群。

Lagrange 定理

设 $G$ 是一个有限群，$H$ 是 $G$ 的一个子群，有： $$|G| = |H| \cdot [G : H]$$ 其中 $[G : H]$ 称为 $G$ 对 $H$ 的指数，是 $H$ 在 $G$ 中的不同右陪集的个数。

推论

对有限群 $G$，$\forall a \in G, |a| \ \mathbf{\Big|} \ |G|$
对于阶是素数的群，其子群只有平凡子群和本身，即 $\forall a \in G, \langle a \rangle = G$

循环群与置换群

循环群

设 $G$ 是一个群，若存在 $a \in G$，使得 $G = \langle a \rangle$，则称 $G$ 是一个循环群，$a$ 称为 $G$ 的生成元。

循环群的性质

任意循环群 $G$ 都是阿贝尔群。反之不一定成立。

循环群的分类

$n$ 阶循环群：$G = \langle a \rangle$，$|a| = |G| = n$
无限循环群：$G = \langle a \rangle$，$|a| = \infty$
- 若 $G = \langle a \rangle$ 是无限循环群，则 $G$ 只有两个生成元：$a$ 和 $a^{-1}$

若 $G = \langle a \rangle$ 是 $n$ 阶循环群，则 $G$ 含有且仅含有 $\varphi(n)$ 个 $n$ 阶元即生成元。且 $a^r$ 是生成元当且仅当 $r$ 与 $n$ 互素。

循环群的子群

设 $G = \langle a \rangle$ 是循环群

$G$ 的子群仍是循环群
若 $G$ 是无限循环群，则 $G$ 的子群除了 $\lbrace e \rbrace$ 之外都是无限循环群
若 $G$ 是 $n$ 阶循环群，对 $n$ 的每个正因子 $d$，$G$ 都有且仅有一个 $d$ 阶子群，且 $G$ 的 $d$ 阶子群是 $\langle a^{\frac{n}{d}} \rangle$

置换群

置换

设 $S = {1, 2, \cdots, n}$，$S$ 上的一个任何双射函数 $\delta$ 称为 $S$ 上的一个n 元置换。 $n$ 元置换共有 $n!$ 个。

一个群 $G$ 中的某一行或某一列一定都是 $G$ 的元素的一个置换。

置换的乘法

与函数的复合规则相同。

轮换与对换

轮换：若 $\delta(i_1) = i_2, \delta(i_2) = i_3, \cdots, \delta(i_n) = i_1$，则称 $\delta$ 是一个 $n$ 元轮换。
对换：若 $\delta(i_1) = i_2, \delta(i_2) = i_1, \delta(i) = i$，则称 $\delta$ 是一个 $2$ 元轮换，即对换。

任意置换都可以唯一地表示成不相交的轮换乘积。

可将该置换表示进一步分解成对换的乘积，且对换分解式中对换之间可以有交，分解式也不惟一.

奇置换：含有奇数个对换的置换
偶置换：含有偶数个对换的置换

对称群

所有的 $n$ 元置换构成的集合 $S_n$ 关于置换乘法构成群，称为 $n$ 元对称群。 $n$ 元对称群的子群叫做 $n$ 元置换群。

所有的旋转变换是 $S_3$ 的子群但是所有的翻转变换不是 $S_3$ 的子群

交错群

$n$ 元交错群 $A_n$ 是 $n$ 元对称群 $S_n$ 的一个子群，是 $S_n$ 中所有偶置换构成的集合。

Polya 定理

$N = {1, 2, \cdots, n}$ 是被着色物体的集合，$G$ 是 $N$ 上的一个置换群，$m$ 是着色数，则在 $G$ 作用下的不同的着色方案数为： $$M = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} m^{c(g)}$$ 其中 $m$ 是着色数，$c(g)$ 是 $g$ 的轮换表示中的轮换个数。

Polya 定理中的置换群求解方法

确定对称操作的类型：
- 分析物体的对称性，确定所有可能的对称操作（例如旋转、反射等）。
- 对称操作可以分为不同的类型，如绕不同对称轴的旋转。
求出基本置换：
- 针对每类对称操作以及其对应的对称轴，求出所有可能的基本置换。
- 例如，立方体的旋转对称包括绕对称轴旋转90°、180°等。
应用 Polya 定理：
- 将求出的所有置换作为 Polya 定理中的群元素。
- 根据定理进行等价类的计数，得出问题的解。

环与域

环

设 $\langle R, +, \cdot \rangle$ 是一个代数系统，如果满足以下条件：

$\langle R, + \rangle$ 是一个阿贝尔群
$\langle R, \cdot \rangle$ 是一个半群
$\cdot$ 对 $+$ 满足分配律。则称 $\langle R, +, \cdot \rangle$ 是一个环。

通常称 $+$ 为环 $R$ 的加法，$\cdot$ 为环 $R$ 的乘法。环中加法单位元记作 $0$，乘法单位元记作 $1$。

对任何元素 $x$，称其加法逆元为负元，记作 $-x$。若 $x$ 存在乘法逆元，则称之为逆元，记作 $x^{-1}$。

$nx$ 表示 $n$ 个 $x$ 相加，$x^n$ 表示 $n$ 个 $x$ 相乘。

环的实例

关于普通加法和乘法封闭的环
- 整数环 $\mathbb{Z}$
- 有理数环 $\mathbb{Q}$
- 实数环 $\mathbb{R}$
- 复数环 $\mathbb{C}$
$\oplus$ 和 $\otimes$ 分别表示模 $n$ 加法和乘法的环 $\mathbb{Z}_n$
$n$ 阶矩阵环 $M_n(\mathbb{R})$
$P(B)$ 对称差和交的环

环的性质

设 $\langle R, +, \cdot \rangle$ 是一个环

$\forall a \in R, 0 \cdot a = a \cdot 0 = 0$
$\forall a, b \in R, (-a)b = a(-b) = -ab$
$\forall a, b, c \in R, a(b - c) = ab - ac, (a - b)c = ac - bc$
$\displaystyle\forall a_1, a_2, \cdots, a_n, b_1, b_2, \cdots, b_m \in R, \sum_{i=1}^n a_i \sum_{j=1}^m b_j = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_i b_j$

特殊的环

交换环：满足乘法交换律的环
含幺环：存在乘法单位元的环
无零因子环：若 $ab = 0 \Rightarrow a = 0 \lor b = 0$ 的环
- 当且仅当满足乘法消去律时，环是无零因子环
整环：以上三个性质同时满足的环
域：设 $R$ 是整环，且 $R$ 中至少含有两个元素，每个非零元都有乘法逆元，则称 $R$ 是一个域。

格与布尔代数

设 $\langle S, \preccurlyeq \rangle$ 是一个偏序集，若 $\forall a, b \in S$，存在上确界和下确界，则称 $\langle S, \preccurlyeq \rangle$ 是一个格。

保联与保交

把求 $\lbrace x, y \rbrace$ 的上确界和下确界看作 $x$ 和 $y$ 的二元运算 $\vee$ 和 $\wedge$，称为保联和保交。

通常把在偏序关系的基础上定义的格称为偏序格。

实例

正因子格

$n$ 是正整数，$S_n$ 是 $n$ 的所有正因子的集合，$S_n$ 关于整除关系 $D$ 构格，称为正因子格。

$x \vee y = \mathrm{lcm}(x, y)$
$x \wedge y = \gcd(x, y)$

幂集格

$\langle P(B), \subseteq \rangle$ 是一个格，称为幂集格。

$A \vee B = A \cup B$
$A \wedge B = A \cap B$

整数集

$\langle \mathbb{Z}, \leq \rangle$ 是一个格。

$a \vee b = \max(a, b)$
$a \wedge b = \min(a, b)$

子群格

子群格是一个格。
$$L(G) = \lbrace H \ | \ H \leq G \rbrace$$

对任意的 $H_1, H_2 \in L(G)$，$H_1 \cap H_2$ 是 $G$ 的子群，$\langle H_1 \cup H_2 \rangle$ 是由 $H_1$ 和 $H_2$ 生成的子群。（即包含 $H_1$ 和 $H_2$ 的最小子群）。

$H \vee K = \langle H \cup K \rangle$
$H \wedge K = H \cap K$

格的性质

对偶原理

设 $f$ 是各种元素以及符号 $=, \preccurlyeq, \succcurlyeq, \vee, \wedge$ 的命题，令 $f^*$ 是 $f$ 的对偶命题，即将 $f$ 中的 $=, \preccurlyeq, \succcurlyeq, \vee, \wedge$ 分别替换为 $\neq, \succcurlyeq, \preccurlyeq, \wedge, \vee$。

若 $f$ 是真，则 $f^*$ 也是真。

计算律

交换律：
- $a \vee b = b \vee a$
- $a \wedge b = b \wedge a$
结合律：
- $(a \vee b) \vee c = a \vee (b \vee c)$
- $(a \wedge b) \wedge c = a \wedge (b \wedge c)$
幂等律：
- $a \vee a = a$
- $a \wedge a = a$
吸收律：
- $a \vee (a \wedge b) = a$
- $a \wedge (a \vee b) = a$

序与运算的关系

若 $L$ 是一个格，$a, b \in L$，则

$a \preccurlyeq b \Leftrightarrow a \vee b = b \Leftrightarrow a \wedge b = a$
$a \succcurlyeq b \Leftrightarrow a \vee b = a \Leftrightarrow a \wedge b = b$

保序：即 $$\forall a, b, c, d \in L, a \preccurlyeq b \land c \preccurlyeq d \Rightarrow a \vee c \preccurlyeq b \vee d 且 a \wedge c \preccurlyeq b \wedge d$$

一般不满足分配律。

子格

设 $\langle L, \wedge, \vee \rangle$ 是一个格，$S$ 是 $L$ 的一个非空子集，若 $S$ 关于 $\wedge$ 和 $\vee$ 构成一个格，则称 $\langle S, \wedge, \vee \rangle$ 是 $\langle L, \wedge, \vee \rangle$ 的一个子格。

分配格

设 $\langle L, \wedge, \vee \rangle$ 是一个格，若 $\forall a, b, c \in L$，满足分配律：

$$\begin{aligned} a \wedge (b \vee c) &= (a \wedge b) \vee (a \wedge c) \newline a \vee (b \wedge c) &= (a \vee b) \wedge (a \vee c) \end{aligned}$$

则称 $\langle L, \wedge, \vee \rangle$ 是一个分配格。

分配格的判定

当且仅当不含与钻石格或五边形格同构的子格。

全上界、全下界

若存在 $a \in L$，使得 $\forall x \in L, x \preccurlyeq a$，则称 $a$ 是 $L$ 的一个全上界。
若存在 $b \in L$，使得 $\forall x \in L, b \preccurlyeq x$，则称 $b$ 是 $L$ 的一个全下界。

$L$ 中的全上界与全下界即为 $L$ 的最大元和最小元。

一般将格 $L$ 的全上界记为 $1$，全下界记为 $0$。若 $L$ 存在全上界或全下界，则一定是唯一的。

有界格

若 $L$ 存在全上界和全下界，则称 $L$ 是一个有界格。一般将有界格记为 $\langle L, \wedge, \vee, 0, 1 \rangle$。 $\forall a \in L$，有 $$a \vee 0 = 0, a \vee 1 = 1, a \wedge 0 = 0, a \wedge 1 = 1$$

注意， $\vee$ 和 $\wedge$ 是对偶运算。 $0$ 是 $\wedge$ 的零元，是 $\vee$ 的单位元。 $1$ 是 $\vee$ 的零元，是 $\wedge$ 的单位元。

对于涉及到有界格的命题，如果其中含有全下界 $0$ 或全上界 $1$，在求该命题的对偶命题时，必须将 $0$ 替换成 $1$，而将 $1$ 替换成 $0$。

补元

设 $\langle L, \wedge, \vee, 0, 1 \rangle$ 是一个有界格，若 $\forall a \in L$，存在 $a’$，使得 $$a \wedge a’ = 0, a \vee a’ = 1$$ 则称 $a’$ 是 $a$ 的补元。 $a$ 和 $a’$ 互为补元。

补元是唯一的。称任何元素都有补元的有界格为有补格。

布尔代数

如果一个格是有补分配格，则称其为布尔代数，记为 $\langle B, \wedge, \vee, ‘, 0, 1 \rangle$。

实例：正因子格（若每个质因数都只出现一次）、幂集格、命题代数、子群格。

有限布尔代数

论域 $B$ 为有限集合的布尔代数称为有限布尔代数。设格 $0 \in L$，$L$ 是格，若 $\exists a \in L, \forall x \in L, 0 \prec x \preccurlyeq a \Leftrightarrow x = a$ 则称 $a$ 是 $L$ 的原子。

设 $A$ 是有限布尔代数系统 $B$ 的全体原子构成的集合，则 $B$ 同构于 $A$ 的幂集代数 $P(A)$。

推论：

有限布尔代数的基数为 $2^n$。
任何等势的有限布尔代数同构。