二元运算及其性质

一元运算的定义

设 $S$ 为集合，函数 $f: S \to S$ 称为 $S$ 上的一元运算，简称为一元运算。

二元运算的定义

设 $S$ 为集合，函数 $f: S \times S \to S$ 称为 $S$ 上的二元运算，简称为二元运算。

• $S$ 中任意两个元素都可以进行运算，且运算结果唯一。
• 二元运算的运算结果仍然属于 $S$，即运算封闭。

一元运算和二元运算的表示方法

1. 算符：$\oplus, \odot, \cdots$，$x \oplus y, \Delta x, \cdots$
2. 解析公式
3. 运算表

二元运算的性质

单个二元运算的性质

• 交换律：若 $\forall x, y \in S, x \circ y = y \circ x$，则称 $\circ$ 满足交换律。
• 结合律：若 $\forall x, y, z \in S, (x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$，则称 $\circ$ 满足结合律。
• 幂等律：若 $\forall x \in S, x \circ x = x$，则称 $\circ$ 满足幂等律。

多个二元运算的性质

• 分配律：若 $\forall x, y, z \in S, x \circ (y \bullet z) = (x \circ y) \bullet (x \circ z) 且 (y \bullet z) \circ x = (y \circ x) \bullet (z \circ x)$，则称 $\circ$ 对 $\bullet$ 满足分配律。
• 吸收律：若 $\forall x, y \in S, x \circ (x \bullet y) = x$，则称 $\circ$ 对 $\bullet$ 满足吸收律。

特异元素

单位元

• 左单位元：若 $\forall x \in S, e_l \circ x = x$，则称 $e_l$ 为 $\circ$ 的左单位元。
• 右单位元：若 $\forall x \in S, x \circ e_r = x$，则称 $e_r$ 为 $\circ$ 的右单位元。
• 单位元：若 $e$ 既是左单位元又是右单位元，则称 $e$ 为 $\circ$ 的单位元，也称为幺元。

零元

• 左零元：若 $\forall x \in S, \theta_l \circ x = \theta_l$，则称 $\theta_l$ 为 $\circ$ 的左零元。
• 右零元：若 $\forall x \in S, x \circ \theta_r = \theta_r$，则称 $\theta_r$ 为 $\circ$ 的右零元。
• 零元：若 $\theta$ 既是左零元又是右零元，则称 $\theta$ 为 $\circ$ 的零元。

逆元

若二元运算存在单位元 $e$：

• 左逆元：若 $\forall x \in S, x \circ x^{-1} = e$，则称 $x^{-1}$ 为 $x$ 的左逆元。

• 右逆元：若 $\forall x \in S, x^{-1} \circ x = e$，则称 $x^{-1}$ 为 $x$ 的右逆元。

• 逆元：若 $x$ 既有左逆元又有右逆元，则称 $x^{-1}$ 为 $x$ 的逆元。

• 可逆的：若 $\forall x \in S, \exists x^{-1} \in S, x \circ x^{-1} = x^{-1} \circ x = e$，则称 $x$ 可逆。

唯一性定理：若 $x$ 有左逆元 $y_l$ 和右逆元 $y_r$，则 $y_l = y_r$，且 $y_l$ 为 $x$ 的逆元。

运算表

运算表与运算性质

• 封闭性：运算表中的元素都在集合中。
• 交换律：运算表关于主对角线对称。
• 幂等性：运算表主对角线上的元素均与表头元素相同。
• 结合律：判断比较复杂，一般通过运算表无法判断。
  • 需要针对运算元素的每种选择进行验证，若 $|A| = n$，一般需要验证 $n^3$ 个等式.

运算表与特异元素

• 有幺元：该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相一致；
• 有零元：该元素所对应的行和列中的元素都与该元素相同；
• 设 $A$ 中有幺元，$a$ 和 $b$ 互逆，当且仅当位于 $a$ 所在行，$b$ 所在列的元素以及 b 所在行，a 所在列的元素都是幺元。

代数系统

非空集合 $S$ 与 $S$ 上的 $k$ 一元或二元运算构成的系统称为代数系统，简称代数。记作：$\langle S, f_1, f_2, \cdots, f_k \rangle$。

代数系统的成分

• 非空集合：$S$，也叫 载体。
• 运算：$S$ 上的一元或二元运算。
• 代数常数：代数系统中的特异元素。

实例： $V_1 = \langle \mathbb{Z},+,0 \rangle$, $V_2 = P(S), \cup, \cap, \varnothing, S$

同类型的代数系统

若两个代数系统中运算的个数以及对应的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统是同类型的。

如 $V_1 = \langle \mathbb{R}, +, \cdot, 0, 1 \rangle$ 和 $V_2 = \langle P(B), \cup, cap, \varnothing, B \rangle$ 是同类型的代数系统。

同类型的代数系统仅仅是具有相同的成分，不一定具有相同的运算性质！

子代数系统

设 $V = \langle S, f_1, f_2, \cdots, f_k \rangle$ 是一个代数系统，若 $S’ \subseteq S$，且 $S’$ 与 $V$ 中的运算在 $S’$ 上封闭，则称 $V’ = \langle S’, f_1, f_2, \cdots, f_k \rangle$ 是 $V$ 的子代数系统，简称子代数。

有时会将子代数系统简记为 $S’$。

特殊的子代数系统

• 最大的子代数：$V$ 本身。
• 最小的子代数：若 $V$ 中所有的代数常数构成的代数系统对 $V$ 中的运算封闭，则该代数系统是 $V$ 的最小子代数。
• 平凡的子代数：最大的子代数和最小的子代数。
• 真子代数：不是 $V$ 本身的子代数。即 $S’ \varsubsetneqq S$。

积代数

设 $V_1 = \langle A, \circ \rangle$ 和 $V_2 = \langle B, \bullet \rangle$ 是同类型的代数系统，在 $A \times B$ 上定义二元运算 $\odot$： $$\forall <a_1, b_1>, <a_2, b_2> \in A \times B, <a_1, b_1> \odot <a_2, b_2> = \langle a_1 \circ a_2, b_1 \bullet b_2 \rangle$$ 称 $V = \langle A \times B, \odot \rangle$ 为 $V_1$ 和 $V_2$ 的积代数，记作 $V = V_1 \times V_2$，此时也称 $V_1$ 和 $V_2$ 是 $V$ 的因子代数。

代数系统的同态与同构

代数系统的同态

$V_1 = \langle A, \circ \rangle$ 和 $V_2 = \langle B, \bullet \rangle$ 是同类型的代数系统，若存在映射 $f: A \to B$，且满足： $$\forall x, y \in A, f(x \circ y) = f(x) \bullet f(y)$$ 则称 $f$ 是 $V_1$ 到 $V_2$ 的同态映射，简称同态。

同态的分类

• 单同态：若 $f$ 是单射，则称 $f$ 是单同态。
• 满同态：若 $f$ 是满射，则称 $f$ 是满同态，此时称 $V_2$ 是 $V_1$ 的同态像。记作 $V_1 \sim V_2$。
• 同构：若 $f$ 是双射，则称 $f$ 是同构映射，$V_1$ 和 $V_2$ 是同构的，记作 $V_1 \cong V_2$。
• 自同态：若 $V_1 = V_2$，则称 $f$ 是 $V_1$ 的自同态。