循环群与置换群

循环群

设 $G$ 是一个群，若存在 $a \in G$，使得 $G = \langle a \rangle$，则称 $G$ 是一个循环群，$a$ 称为 $G$ 的生成元。

循环群的性质

任意循环群 $G$ 都是阿贝尔群。反之不一定成立。

循环群的分类

• $n$ 阶循环群：$G = \langle a \rangle$，$|a| = |G| = n$
• 无限循环群：$G = \langle a \rangle$，$|a| = \infty$
  • 若 $G = \langle a \rangle$ 是无限循环群，则 $G$ 只有两个生成元：$a$ 和 $a^{-1}$

若 $G = \langle a \rangle$ 是 $n$ 阶循环群，则 $G$ 含有且仅含有 $\varphi(n)$ 个 $n$ 阶元即生成元。 且 $a^r$ 是 生成元当且仅当 $r$ 与 $n$ 互素。

循环群的子群

设 $G = \langle a \rangle$ 是循环群

1. $G$ 的子群仍是循环群
2. 若 $G$ 是无限循环群，则 $G$ 的子群除了 $\lbrace e \rbrace$ 之外都是无限循环群
3. 若 $G$ 是 $n$ 阶循环群，对 $n$ 的每个正因子 $d$，$G$ 都有且仅有一个 $d$ 阶子群，且 $G$ 的 $d$ 阶子群是 $\langle a^{\frac{n}{d}} \rangle$

置换群

置换

设 $S = {1, 2, \cdots, n}$，$S$ 上的一个任何双射函数 $\delta$ 称为 $S$ 上的一个n 元置换。 $n$ 元置换共有 $n!$ 个。

一个群 $G$ 中的某一行或某一列一定都是 $G$ 的元素的一个置换。

置换的乘法

与函数的复合规则相同。

轮换与对换

• 轮换：若 $\delta(i_1) = i_2, \delta(i_2) = i_3, \cdots, \delta(i_n) = i_1$，则称 $\delta$ 是一个 $n$ 元轮换。
• 对换：若 $\delta(i_1) = i_2, \delta(i_2) = i_1, \delta(i) = i$，则称 $\delta$ 是一个 $2$ 元轮换，即对换。

任意置换都可以唯一地表示成不相交的轮换乘积。

可将该置换表示进一步分解成对换的乘积，且对换分解式中对换之间可以有交，分解式也不惟一.

• 奇置换：含有奇数个对换的置换
• 偶置换：含有偶数个对换的置换

对称群

所有的 $n$ 元置换构成的集合 $S_n$ 关于置换乘法构成群，称为 $n$ 元对称群。 $n$ 元对称群的子群叫做 $n$ 元置换群。

所有的旋转变换是 $S_3$ 的子群 但是所有的翻转变换不是 $S_3$ 的子群

交错群

$n$ 元交错群 $A_n$ 是 $n$ 元对称群 $S_n$ 的一个子群，是 $S_n$ 中所有偶置换构成的集合。

Polya 定理

$N = {1, 2, \cdots, n}$ 是被着色物体的集合，$G$ 是 $N$ 上的一个置换群，$m$ 是着色数，则在 $G$ 作用下的不同的着色方案数为： $$M = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} m^{c(g)}$$ 其中 $m$ 是着色数，$c(g)$ 是 $g$ 的轮换表示中的轮换个数。

Polya 定理中的置换群求解方法

1. 确定对称操作的类型：

   • 分析物体的对称性，确定所有可能的对称操作（例如旋转、反射等）。
   • 对称操作可以分为不同的类型，如绕不同对称轴的旋转。

2. 求出基本置换：

   • 针对每类对称操作以及其对应的对称轴，求出所有可能的基本置换。
   • 例如，立方体的旋转对称包括绕对称轴旋转90°、180°等。

3. 应用 Polya 定理：

   • 将求出的所有置换作为 Polya 定理中的群元素。
   • 根据定理进行等价类的计数，得出问题的解。