环与域
环
设 $\langle R, +, \cdot \rangle$ 是一个代数系统，如果满足以下条件：
- $\langle R, + \rangle$ 是一个阿贝尔群
- $\langle R, \cdot \rangle$ 是一个半群
- $\cdot$ 对 $+$ 满足分配律。 则称 $\langle R, +, \cdot \rangle$ 是一个环。
通常称 $+$ 为环 $R$ 的加法，$\cdot$ 为环 $R$ 的乘法。 环中加法单位元 记作 $0$，乘法单位元记作 $1$。
对任何元素 $x$，称其加法逆元为负元，记作 $-x$。 若 $x$ 存在乘法逆元，则称之为逆元，记作 $x^{-1}$。
$nx$ 表示 $n$ 个 $x$ 相加，$x^n$ 表示 $n$ 个 $x$ 相乘。
环的实例
- 关于普通加法和乘法封闭的环
- 整数环 $\mathbb{Z}$
- 有理数环 $\mathbb{Q}$
- 实数环 $\mathbb{R}$
- 复数环 $\mathbb{C}$
- $\oplus$ 和 $\otimes$ 分别表示模 $n$ 加法和乘法的环 $\mathbb{Z}_n$
- $n$ 阶矩阵环 $M_n(\mathbb{R})$
- $P(B)$ 对称差和交的环
环的性质
设 $\langle R, +, \cdot \rangle$ 是一个环
- $\forall a \in R, 0 \cdot a = a \cdot 0 = 0$
- $\forall a, b \in R, (-a)b = a(-b) = -ab$
- $\forall a, b, c \in R, a(b - c) = ab - ac, (a - b)c = ac - bc$
- $\displaystyle\forall a_1, a_2, \cdots, a_n, b_1, b_2, \cdots, b_m \in R, \sum_{i=1}^n a_i \sum_{j=1}^m b_j = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_i b_j$
特殊的环
- 交换环：满足乘法交换律的环
- 含幺环：存在乘法单位元的环
- 无零因子环：若 $ab = 0 \Rightarrow a = 0 \lor b = 0$ 的环
- 当且仅当满足乘法消去律时，环是无零因子环
- 整环：以上三个性质同时满足的环
- 域：设 $R$ 是整环，且 $R$ 中至少含有两个元素，每个非零元都有乘法逆元，则称 $R$ 是一个域。