静电场

库仑定律

电荷

• 同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引
• 电荷守恒定律：封闭系统内电荷总量不变
• 电荷量的最小单位是电子电荷量，$e=1.6\times10^{-19}C$
• 电荷量的量子化：$Q=ne$

两个理想模型

• 点电荷模型：电荷半径远小于与之距离的物体尺寸
• 连续电荷分布模型：电荷半径远大于与之距离的物体尺寸

库仑定律

库伦使用扭秤实验得到了电荷之间的相互作用力与电荷量大小和距离的平方成正比的关系，即库仑定律。
$$\boldsymbol{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r_{12}^2}\boldsymbol{e_{r_{12}}}$$

其中$\varepsilon_0=8.85\times10^{-12}C^2/N\cdot m^2$为真空介电常数，$\boldsymbol{e_{r_{12}}}$为单位矢量。
公式中引入了 $4\pi$ 银子的做法，称为单位制的有理化，虽然会使公式看起来更复杂，但是可以使电磁学中的其他公式相对简单。

库仑定律的适用条件

1. 在真空中
2. 电荷处于静止状态
3. 点电荷
   • 若两个电荷之间并非相对静止，则显然 $F_1 \neq F_2$，则两个电荷之间的相互作用力不满足牛顿第三定律

电场力的叠加

$$ \boldsymbol{F} = \sum_{i=1}^n \boldsymbol{F_i} = \sum_{i=1}^n \frac{q_iq_0}{4\pi\varepsilon_0r_{i0}^2}\boldsymbol{e_{r_{i0}}} $$

电场

与电荷的关系

$$\text{电荷} \rightleftharpoons \text{电场} \rightleftharpoons \text{电荷}$$

电场对外的表现主要有

1. 电场力
2. 做功：具有电场能
3. 静电感应现象和极化现象

电场强度

定义

$$\boldsymbol{E} = \frac{\boldsymbol{F}}{q}$$

点电荷产生的电场强度

$$\boldsymbol{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\boldsymbol{e_r}$$

电偶极子

电荷连续分布的带电体产生的电场

$$d\boldsymbol{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^2}\boldsymbol{e_r}$$ $$\boldsymbol{E} = \int d\boldsymbol{E} = \int \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^2}\boldsymbol{e_r}$$ 可以把矢量分别沿三个坐标轴分解，然后分别积分，最后合成矢量。 $$d\boldsymbol{E} = dE_x \boldsymbol{i} + dE_y \boldsymbol{j} + dE_z \boldsymbol{k}$$ $$E_x = \int dE_x, \quad E_y = \int dE_y, \quad E_z = \int dE_z$$

电荷密度

1. 电荷线密度 $$\lambda_e = \frac{dq}{dl}$$
2. 电荷面密度 $$\sigma_e = \frac{dq}{dS}$$
3. 电荷体密度 $$\rho_e = \frac{dq}{dV}$$

几个模型

1. 点电荷模型

2. 电偶极子

3. 无限长均匀带电直线 $r$ 为距离直线的距离，$\lambda_e$ 为线密度，则当 $r \gg l$ 时 (即 $r$ 远大于线长) $$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2\lambda}{r}$$ 等价于一个点电荷产生的电场

4. 均匀带电圆环 $r$ 为距离圆心的距离，$\lambda_e$ 为线密度，则 $$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qr}{(r^2 + R^2)^{\frac{3}{2}}}$$ 当 $r \gg R$ 时 (即 $r$ 远大于圆环半径) $$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$$

5. 无限大均匀带电平面 $r$ 为距离平面的距离，$\sigma_e$ 为面密度，则当 $r \gg l$ 时 (即 $r$ 远大于平面长) $$E = \frac{\sigma_e}{2\varepsilon_0}$$

6. 均匀带电圆盘

   • $r$ 接近于 $0$ 时，圆盘可看作一个无限大带电平面，即 $E = \frac{\sigma_e}{2\varepsilon_0}$
   • $r$ 远大于圆盘半径时，圆盘可看作一个点电荷，即 $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$

7. 无限大带电厚壁 $r$ 为距离平面左端的距离，$\rho_e$ 为体密度，$d$ 为厚度。 可以看作连续的无限大带电平面，即 $$E = \int_{0}^{d} \frac{\frac{d \rho_e}{dx}}{2\varepsilon_0} dx$$

静电场的高斯定理

电场强度通量

• 对于闭合的曲面，正负号表示电场线的穿入和穿出。一般定义电场线从介质内部穿出为正，从介质外部穿入为负。
• 对于开放曲面，正负号表示电场线的方向。
  • 一般定义从下往上为正，从上往下为负。
  • 从左往右为正，从右往左为负。
  • 从里往外为正，从外往里为负。

$$\varPhi_e = \oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S}$$

高斯定理

$$\varPhi_e = \oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$$ 高斯定理是电场强度通量的一个重要定理，它表明了电场强度通量与电荷量之间的关系。
说明静电场是有源场，正电荷是电场的源，负电荷是电场的汇。

高斯定理不能说明闭合曲面内处处没有电荷，只能说明闭合曲面内的电荷总量。

高斯定理的应用

• 对于球对称的问题，一般取高斯面为球面，与电场线垂直
• 对于轴对称的问题，一般取高斯面为圆柱面，侧面与电场线垂直
• 对于平面对称的问题，一般取高斯面为柱面，两底面与电场线垂直

静电场的环路定理与电势

静电场的环路定理

引理

$$A_{ab} = \int_{a}^{b} d\boldsymbol{A} = \int_{a}^{b} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = \int_{a}^{b} E \cdot dl \cdot \cos \theta$$

环路定理

$$\oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = 0$$ 表述为：在静电场电场强度的环流等于零。

与 高斯定理 一样，也是表述静电场性质的一个重要定理，可以用环路定理检验一个电场是否是静电场。

静电势能

静电力做的功： $$A_{ab} = \int_a^b \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{l} = W_a - W_b = -\Delta W$$ 对于试验电荷 $q$，在电场中移动的过程中，电场力做的功为 $$A_{ab} = \int_a^b \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{l} = q \int_a^b \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = q \int_a^b E \cdot dl \cdot \cos \theta$$ 将电荷移到电势零点电场力做的功称为电荷在电场中的势能，即 $$\Delta W = W_a - W_b = q \int_a^b E \cdot dl \cdot \cos \theta = q \int_a^b E \cdot dl = q \Delta U$$ 电势能单位为焦耳，符号为 $\text{J}$。

电势与电势差

$$\varphi = \frac{W}{q} = \int_{a}^{\text{电势零点}} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}$$ 在理论计算中通常选取无穷远为电势零点，即 $$\varphi = \int_{P}^{\infty} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} \quad (\varphi_{\infty} = 0)$$ 电势差，也称电压，是指两点之间的电势差，即 $$U_{ab} = \varphi_a - \varphi_b = \int_{a}^{b} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}$$ 静电力做的功可以表示为 $$A_{ab} = q U_{ab}$$

电势能的计算

积分

$$\varphi = \int_{P}^{\infty} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = -\int_{\infty}^{P} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}$$

点电荷

$$\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r}$$

叠加法

$$\varphi = \sum_{i=1}^n \varphi_i = \sum_{i=1}^n \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_i}{r_i}$$ $$\varphi = \int d\varphi$$

等势面

等势面上的法向量与电场强度的方向相同，即 $$\boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = 0$$

电偶极子

定义

电偶极子是由两个相等大小、异种电荷构成的，相距很近的两个点电荷组成的系统。

设电偶极子的两个电荷分别为 $+q$ 和 $-q$，两电荷之间的距离为 $l$，则电偶极矩为 $$\boldsymbol{p} = q\boldsymbol{l}$$

电偶极矩是一个矢量，其方向由 $-q$ 指向 $+q$。

场强分布

设 $r$ 为点电荷到电偶极子中心的距离，$\theta$ 为 $r$ 与电偶极矩的夹角，则

1. 在电偶极子的延长线上 $$E_+ = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}$$ $$E_- = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}$$ $$E = E_+ - E_- = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2lr}{\left(r^2-\frac{l^2}{4}\right)^2}$$ 即有 当 $r \gg l$ 时，有 $$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2p}{r^3}$$
2. 在电偶极子的轴线上 $$E_+ = E_- = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2+\frac{l^2}{4}}$$ 由对称性分析，两个点电荷在轴线上产生的场强大小相等，方向相反，仅留下了 $E$ 的 $-\boldsymbol{l}$ 方向的分量，即 $$E = -E_+ \cos \theta - E_- \cos \theta = -2 E_+ \cos \theta = -2 \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2+\frac{l^2}{4}}\cos \theta$$ 由几何关系可得 $$\cos \theta = \frac{l / 2}{\sqrt{r^2 + \left(l / 2\right)^2}} = \frac{1}{2} \frac{l}{\sqrt{r^2 + \frac{l^2}{4}}}$$ 代入上式可得 $$E = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{ql}{\left(r^2 + \frac{l^2}{4}\right)^{\frac{3}{2}}}$$ 当 $r \gg l$ 时，有 $$E = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{p}{r^3}$$ 其中负号代表电场方向与电偶极矩方向相反。
   可以写成矢量式
   $$\boldsymbol{E} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\boldsymbol{p}}{r^3}$$
3. 在电偶极子的任意场点处 略，见教材 P23。

电偶极子在外电场中所受的力矩

处于匀强电场中的电偶极子，其两个电荷受到的力相等，方向相反，合力为零，但是它们所受的力矩不为零。电偶极子在外电场中所受的力矩为： $$\boldsymbol{M} = \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{E}$$

电偶极子在外电场中的电势能

$$W_{e+} = q \varphi_+, \quad W_{e-} = q \varphi_-$$ $$W_e = W_{e+} - W_{e-} = q(\varphi_+ - \varphi_-)$$ $$\varphi_+ - \varphi_- = \int_{+}^{-} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}$$ 由于$\boldsymbol{E}$是匀强电场 $$\int_{+}^{-} d \boldsymbol{l} = -\boldsymbol{l}$$ $$W_e=q\boldsymbol{E}\int_{+}^{-}d\boldsymbol{l}=-\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E} = -\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E} = -pE\cos\theta$$

静电场中的导体和电介质

静电场中的导体

导体的静电平衡条件

静电平衡的定义

在电场作用下，导体上的电荷发生重新分布现象，称为静电感应现象。

自由电子不再做定向移动，导体两端的正负电荷不再增加，电场分布也不随时间变化，称为静电平衡。

静电平衡的条件

$$\boldsymbol{E_{\text{内}}}=0, \quad \boldsymbol{E_S} \perp \text{导体表面}$$

电势表述形式

在导体内任意两点间的电势差为0，即$\Delta V = 0$。 导体表面是等势面，导体是电势相等的等势体。

静电平衡时导体上的电荷分布

1. 静电平衡时，导体上的电荷只能分布在表面上，其内部没有净电荷。
   • 采用高斯定理证明：内部电场强度为零故内部无净电荷。

• 静电平衡时，若导体空腔内无带电体，空腔导体上的电荷只能分布在空腔导体的外表面。
• 静电平衡时，若导体空腔内有带电体，空腔导体上的电荷只能分布在空腔导体的内外表面上。

3. 在静电平衡时，导体表面外紧邻处的电场强度大小 $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$，方向垂直于导体表面。
   • 当导体某处带正电时，该处的电场强度方向垂直表面向外。
   • 当导体某处带负电时，该处的电场强度方向垂直表面向内。
   • 导体表面外紧邻处某点的电场并非仅仅由该点的电荷决定，而是由导体表面上所有电荷决定的。
   • 无限大带电平面的电场强度大小 $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$，是因为其场强均匀分布在两侧，故为原来的一半。

4. 孤立导体处于静电平衡时，导体表面上的电荷面密度 $\sigma_e$ 仅由表面的形状和导体上的电荷总量决定。

静电屏蔽

1. 腔内空间的电场
   • 若腔内无带电体，导体内部和腔内空间的电场强度均为零。不论导体是否带电以及外界是否有电场。
   • 若腔内有带电体，空腔内的电场仅由腔内带电体决定，与外界电场无关。 总之，空腔导体都能使腔内空间的电场强度为零。该现象称为静电屏蔽。
2. 腔外空间的电场
   • 若导体不接地，腔内带电体会在外表面感应出等量的电荷，并在腔外产生电场。
   • 若导体接地，腔内带电体会在外表面感应出等量的电荷，但外表面的电荷会流入地，故腔外不会产生电场。如果导体外有电场，导体的外表面也会感应出电荷，不会流入大地。但是腔内带电体无法影响腔外。 接地能够使腔外电场不受腔内带电体的影响，这种现象称为接地屏蔽。

导体存在时静电场量的计算

主要用到高斯定理和导体内部电场强度为零的性质。

注意点

1. 通常规定大地和无限远处的电势为零，接地的导体的电势无论电场分布如何，都为零。
2. 导体接地并不意味导体表面电荷全部消失。
3. 电场中任意一点的电势都是所有电荷共同贡献的结果。导体接地时，电势为零也是所有电荷共同贡献的结果。

静电场中的电介质

电介质对电场的影响

在平行板间充入电介质的时候，电势差和电场都会变小，并且有如下关系： $$U = \frac{U_0}{\varepsilon_r}, \quad E = \frac{E_0}{\varepsilon_r}$$ 其中，$U_0$ 和 $E_0$ 分别是真空中的电势差和电场强度，$\varepsilon_r$ 是电介质的相对介电常数，除真空中 $\varepsilon_0 = 1$ 之外，$\varepsilon_r$ 都大于1。

电介质的极化

虽然无极分子电介质和极分子电介质的微观机制不同，但在宏观上，都表现为在均匀电介质表面出现束缚电荷。（表面没有自由电荷） 自由电荷是一种等效概念，常指存在于物质内部，再外电场作用下能做定向移动的电荷，如金属导体中的自由电子，电解质中的离子等。 但由于电介质极化产生的束缚电荷不是自由电荷

束缚电荷与自由电荷的共同之处是它们都会产生静电场。

电极化强度

点极化强度定义为单位体积内分子电偶极矩的矢量和，记作 $\boldsymbol{P}$，则有： $$\boldsymbol{P} = \frac{\sum \boldsymbol{p_i}}{\Delta V}$$ 在国际化单位制中，电极化强度的单位是 $\mathrm{C/m^2}$。
它的量纲与电荷面密度相同

对无极分子构成的电介质，由于每个分子的感生电矩 $\boldsymbol{p_i}$ 都相同，故有： $$\boldsymbol{P} = n \boldsymbol{p}$$ 在外电场中，若电介质内各点的电极化强度 $\boldsymbol{P}$ 的大小和方向都相同，则称电介质为均匀电介质，否则称为非均匀电介质。

在外电场 $\boldsymbol{E_0}$ 中极化的电介质表面以及体内出现的束缚电荷 $q’$ 也要产生电场 $\boldsymbol{E}’$.
根据电场叠加原理，电介质内部的电场 $\boldsymbol{E}$ 为外电场 $\boldsymbol{E_0}$ 和极化电场 $\boldsymbol{E}’$ 的矢量和，即： $$\boldsymbol{E} = \boldsymbol{E_0} + \boldsymbol{E}’$$

实验证明，当电介质内电场 $\boldsymbol{E}$ 不大强的时候，各向同性的均匀电介质的电极化强度 $\boldsymbol{P}$ 与电场 $\boldsymbol{E}$ 之间的关系是线性的，即： $$\boldsymbol{P} = \varepsilon_0 \chi_e \boldsymbol{E}$$ 其中，$\chi_e$ 是电介质的电极化率，为无量纲量。其数值上等于 $\varepsilon_r - 1$。

极化强度与极化电荷的关系

$$dq’ = \boldsymbol{P} \cdot d\boldsymbol{S}$$ $$\frac{dq’}{dS} = \boldsymbol{P} \cdot \boldsymbol{e_n} = P \cos \theta$$

故在一个闭合曲面内满足： $$\oint_S \boldsymbol{P} \cdot d\boldsymbol{S} = -\sum q’_{内}$$

当面元 $d \boldsymbol{S}$ 在电介质表面的时候，有： $$\sigma_e’ = \boldsymbol{P} \cdot \boldsymbol{e_n} = P \cos \theta = P_n$$

有介质时的高斯定理

有电介质存在时的总场强为： $$\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E_0}+\boldsymbol{E’}$$ 其中，$\boldsymbol{E_0}$ 是外电场，$\boldsymbol{E’}$ 是极化电场。

即电场 $\boldsymbol{E}$ 由束缚电荷的分布决定，而电介质最后的极化情况即点极化强度 $\boldsymbol{P}$ 和束缚电荷的分布又是由电场 $\boldsymbol{E}$ 决定的。

可见三者之间的关系是相互影响的，可以通过引入适当的物理量来简化问题。

电位移和有介质时的高斯定理

有电介质时，高斯定理依然成立，只不过此时 $\boldsymbol{E}$ 通量的计算需要同时考虑自由电荷和束缚电荷的贡献。 即：
$$\oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum \left( q_{0内} + q’_{内} \right)$$
根据 极化强度与极化电荷的关系 可知： $$\oint_S (\varepsilon_0 \boldsymbol{E} + \boldsymbol{P}) \cdot d\boldsymbol{S} = \sum q_{0内}$$
引入一个物理量 $\boldsymbol{D}$，称为电位移矢量，定义为： $$\boldsymbol{D} = \varepsilon_0 \boldsymbol{E} + \boldsymbol{P}$$
称为电位移矢量，其单位是 $\mathrm{C/m^2}$。
则上式可改写成：
$$\oint_S \boldsymbol{D} \cdot d\boldsymbol{S} = \sum q_{0内}$$

此式证明：通过任意闭合曲面的电位移通量（或称为 $\boldsymbol{D}$ 通量）等于该闭合曲面内的自由电荷之和。 称为有介质时的高斯定理，或称为 $\boldsymbol{D}$ 的高斯定理。

介电常数

对于各向同性电介质，有： $$\boldsymbol{D} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \boldsymbol{E} = \varepsilon \boldsymbol{E}$$ 式中比例系数 $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$ 称为电介质的介电常数

应用

1. 根据自由电荷的分布求出电位移 $\boldsymbol{D}$ 的分布
2. 根据电位移 $\boldsymbol{D}$ 的分布求出电场强度 $\boldsymbol{E}$
3. 根据 $\boldsymbol{E}$ 求出 $\boldsymbol{P}$
4. 根据 $\boldsymbol{P}$ 求出束缚电荷面密度 $\sigma_e'$
5. 根据 $\sigma_e’$ 求出束缚电荷总量 $q'$

静电场的边界条件

电场强度切向分量的连续性

再两种电介质的分界面上，用 $E_{1t}$ 和 $E_{2t}$ 分别表示分界面电场强度切向分量大小，由环路定理知：

$$\oint_L \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = E_{1t} \Delta l + E_{2t} \Delta l = 0$$
即： $$E_{1t} = E_{2t}$$

可见，电场强度的切向分量在两种电介质的分界面上是连续的。

电位移法向分量的连续性

在两种电介质的分界面上，用 $D_{1n}$ 和 $D_{2n}$ 分别表示分界面电位移法向分量大小，由高斯定理知：

$$\oint_S \boldsymbol{D} \cdot d\boldsymbol{S} = D_{1n} \Delta S + D_{2n} \Delta S = 0$$ 即： $$D_{1n} = D_{2n}$$

可见，电位移的法向分量在两种电介质的分界面上是连续的。

以上推出的两个结论称为静电场的边界条件。

$\boldsymbol{D}$ 线的折射定律

$$\frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2} = \frac{\varepsilon_{r1}}{\varepsilon_{r2}}$$

电容与电容器

孤立导体的电容

当孤立导体所带的电荷量 $Q$ 增大时，根据叠加原理，导体的电势 $\varphi$ 也按一定的比例增大。

我们知道电荷量 $Q$ 与导体的电势 $\varphi$ 之间的比值仅与导体的几何形状有关，而与导体的电势无关。这个比值称为导体的电容，用 $C$ 表示，即： $$C = \frac{Q}{\varphi}$$

它的物理意义是：导体上的电势每增加单位电势所需的电荷量。
它的单位是法拉（F）。 $$1 \mathrm{F} = 1 \mathrm{C/V}$$ 实际应用中，由于电容量很大，常用微法（$\mu \mathrm{F}$）和皮法（$\mathrm{pF}$）作为单位。

电容器的电容

若一个带电导体近旁有其他导体或带电体的时候，刺刀提的电势讲不仅与和他自己所带的电荷 $Q$ 有关，还与周围其他物体的电荷分布有关。

想要消除其他物体的影响，我们可以采用静电屏蔽的方法。

导体与外壳的电势差 $U$ 只取决于导体自身的电荷量 $Q$ 的大小、导体壳的内表面与导体的几何形状有关。 则设电容为 $C$，电势差为 $U$，则有： $$C = \frac{Q}{U}$$

我们称这种由导体壳和其腔内以电介质或真空隔开的导体所组成的装置为电容器。

电容器的性质

1. 电容器的电容 $C$ 与电容器的几何形状有关，与电容器的电势差 $U$ 无关。
2. 电容器带电时，两个极板面分别带有等量异号电荷 $+Q$ 和 $-Q$，
3. 电容器的电势差 $U$ 也称为电压，电容器所带的电荷量与电压成正比，比值为电容 $C$。

平行板电容器

实际中对电容器屏蔽性的要求并不像理想电容器那样严格，因此我们可以用平行板电容器来近似描述电容器的性质。

理想的平行板电容器由两块平行的大导体板组成

若导体板不能视作无限大，则在电容器边缘存在边缘效应，即电场线不再垂直于导体板，而是向外凸出。
一般电学问题中，我们可以忽略边缘效应。

平行板电容器的电容

1. 当两块平行板之间充满真空时，电容为： $$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$$
2. 当两块平行板之间充满电介质时，电容为： $$C = \frac{\varepsilon S}{d}$$
3. 在其中一块平行板旁边放置一个宽度为 $l$， 介电常数为 $\varepsilon$ 的导体板，使其与另一块平行板之间的距离为 $d$，则电容为： $$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d} + \frac{\varepsilon S}{l}$$

电容器的连接

串联

串联电容器的电容等效为： $$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \cdots + \frac{1}{C_n}$$

并联

并联电容器的电容等效为： $$C = C_1 + C_2 + \cdots + C_n$$

静电场的能量

电荷系的静电能

$$W_e = \frac{1}{2} \sum q_i \varphi_i$$ 或者 $$W_e = \frac{1}{2} \int_q \varphi dq$$

电容器的能量

$$W_e = \frac{1}{2} CU^2 = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$$

平行板电容器

代入 $C = \frac{\varepsilon S}{d}$ 可得 $$W_e = \frac{1}{2} \frac{\varepsilon S}{d} (Ed)^2 = \frac{1}{2} \varepsilon E^2 S d$$

静电场的能量与能量密度

根据 平行板电容器 的能量公式，我们知道平行板电容器的能量和电场强度有关。
更普遍的说，电能的携带者是电场。

单位体积中的电场能量密称为电场能量密度，记作 $w_e$，即 $$w_e = \frac{dW_e}{dV}$$

由于平行板电容器的电场是均匀的，所以电场能量密度是均匀的，即 $$w_e = \frac{W_e}{V} = \frac{1}{2} \varepsilon E^2 = \frac{1}{2} D E$$ 该式虽然是从平行板电容器的能量公式推导出来的，但是对各向同性的电介质都是普遍成立的。 在各向异性的电介质中，$\boldsymbol{D}$ 和 $\boldsymbol{E}$ 的方向不一定相同，但是它们之间的关系仍然是 $$w_e = \frac{1}{2} \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E}$$

对于任意电场，空间 $V$ 内的总电场能量 $W_e$ 可以体由积分求得，即 $$W_e = \int_V w_e dV = \frac{1}{2} \int_V \frac{1}{2} \varepsilon E^2 dV$$
该积分遍及整个空间，适用于任何各向同性的电介质。

恒定磁场

恒定电流

电流

电流是由大量带电粒子定向运动形成的，这些形成电流的粒子可以是自由电子、离子、空穴等，被统称为 载流子 。

描述电流的物理量是电流强度，用符号$I$表示，它等同于单位时间内通过导体横截面的电荷量，即 $$I = \frac{dq}{dt}$$
电流的单位是安培（A）。 $$1A = 1C/s$$
安培是国际单位制的基本单位之一，而电荷量的单位库仑则是导出单位。

电流是 标量 ，但是为了分析问题方便，习惯将正电荷流动的方向定义为电流的方向。

当通过导体任一截面的电流 $I$ 不随时间变化时，称为 恒定电流 。

电流密度

实际上大块导体内部的电流并不是均匀分布的，为了更细致地描述电流的分布情况，引入了 电流密度 的概念。

$$I = \frac{\delta Q}{\delta t} = neSv_D$$
$$J = \frac{I}{S} = nev_D$$
一般的，电流密度为 矢量 ，方向与电流方向一致，大小为单位横截面积上的电流量。故
$$\boldsymbol{J} = nq\boldsymbol{v}_D$$

$$I = \oint_S \boldsymbol{J} \cdot d\boldsymbol{S} = -\frac{dq_{\text{内}}}{dt}$$ 这一关系式被称为 电流的连续性方程 。 当 $$\oint_S \boldsymbol{J} \cdot d\boldsymbol{S} = 0$$ 时，称为 稳恒电流 。

欧姆定律的微分形式

欧姆定律

$$I = \frac{U}{R}$$

电阻率和电导率

$\rho$ 称为 电阻率 ，$\sigma = \frac{1}{\rho}$ 称为 电导率。
粗细均匀的导体中，电阻率 $\rho$ 为常数，导体的长度为 $l$ ，横截面积为 $S$ ，则

$$R = \rho \frac{l}{S}$$

欧姆定律的微分形式

取一段长为 $dl$，横截面积为 $dS$ 的圆柱形体积元，流过截面 $dS$ 的电流为 $$dI = \frac{dU}{R}$$
当体积元足够短时，可以忽略场强沿圆柱长度方向的变化，所以有 $dU = Edl$，又由 $dI = JdS$，$R = \rho \frac{dl}{dS}$，所以 $$JdS = \frac{1}{\rho} \frac{dS}{dl} Edl = \frac{E}{\rho} dS$$ 因此 $$J = \sigma E$$ 由于 $\boldsymbol{J}$ 和 $\boldsymbol{E}$ 的方向相同，可以写成矢量形式 $$\boldsymbol{J} = \sigma \boldsymbol{E}$$

电源和电动势

用受到的非静电力与电荷量的比值来定义非静电场场强，用 $E_k$ 表示，即 $$E_k = \frac{F}{q}$$

非静电力把单位正电荷经电源内部从负极移动到正极的功称为电源的电动势，用符号 $\mathcal{E}$ 表示，即 $$\mathcal{E} = \int_{-}^{+} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}$$

当非静电力存在于整个回路时，整个回路的总电动势为 $$\mathcal{E} = \oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}$$

电动势是标量，但为了便于判断在电流流通时，非静电力是做正功还是负功，常把电源内部电势升高的方向定义为电动势的方向。

磁场和磁感应强度

磁的基本现象

磁极

磁铁中有两块磁性最强的区域，称为 磁极。磁极分为 南极 和 北极。

磁单极子

磁单极子是一种假想的磁体，只有一个磁极。实际上，迄今为止还没有发现磁单极子。

磁偏角

地球的磁场是地球内部的磁性物质产生的，地球的磁极与地球的自转轴不重合，地球的磁极与地理极之间的夹角称为 磁偏角。

安培分子电流假说

分子电流相当于一个基元磁体，当物质中的分子电流规则排列时，物质就具有磁性。

一段段的小电流接续形成一个大的环形电流，从一端看是 $N$ 极，从另一端看是 $S$ 极。
这个假说也能说明不存在磁单极子。因为一个磁极对应一面，存在一面就必然存在另一面。

现代理论表明，分子内电子的运动形成了分子电流，从而产生了物质的磁性。 所有的磁现象都可以归结为运动电荷之间的相互作用，磁力是运动电荷相互作用的表现。

磁场与磁感应强度

与 静止电流之间的相互作用通过电场来传递 一样，运动电荷之间的作用是通过磁场来传递的。

可以表示为： $$\text{运动电荷} \rightleftharpoons \text{磁场} \rightleftharpoons \text{运动电荷}$$

为了定量描述磁场的分布，引入了磁感应强度的概念，用符号 $\boldsymbol{B}$ 表示。

任一电荷收到的作用力是由电场力和磁场力共同决定的，即 $$\boldsymbol{F} = \boldsymbol{F}_e + \boldsymbol{F}_m$$ 其中 $\boldsymbol{F}_e$ 是电场力，与电荷的运动速度无关；$\boldsymbol{F}_m$ 是磁场力，与电荷的运动速度有关。$\boldsymbol{v}$ 的大小和方向不同，$\boldsymbol{F}_m$ 的大小和方向也不同。

$$\boldsymbol{F}_m = q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$$

上式表示的磁力也被称为洛伦兹力 大小为 $$F_m = qvB\sin\theta$$

可以根据右手螺旋定则来判断磁场力的方向。
同时也可以用该式来确定磁感应强度的方向。

毕奥-萨伐尔定律

毕奥-萨伐尔定律

真空中电流元产生的磁感应强度为：

$$d\boldsymbol{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{e_r}}{r^2}$$

其中， $\mu_0$ 为 真空磁导率，其值为 $4\pi \times 10^{-7} , \text{T} \cdot \text{m} / \text{A}$。

则 $d\boldsymbol{B}$ 的大小为 $$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Idl \sin \theta}{r^2}$$ 其中， $\theta$ 为 $d\boldsymbol{l}$ 与 $\boldsymbol{e_r}$ 的夹角。

因此电流元产生的磁场与电流元的大小成正比，与距离的平方成反比。
和 库仑定律 一样满足反比平方定律。 方向由右手螺旋定则确定。

毕奥-萨伐尔定律的应用

直导线

在真空中有一段长为 $L$ 的直导线，电流为 $I$。 场点 $P$ 到直导线的垂直距离为 $a$，两端与电流方向的夹角分别为 $\theta_1$ 和 $\theta_2$。 $$B = \int dB = \frac{\mu_0}{4\pi} I \int \frac{dl \sin \theta}{r^2}$$ 其中 $r$ = $\frac{a}{\sin \theta}$，$l = -a \cot \theta$，则 $dl = \frac{a}{\sin^2 \theta} d\theta$。 将 $l$ 和 $dl$ 代入上式，得 $$\begin{aligned}s B &= \frac{\mu_0}{4\pi} I \int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{ \sin \theta}{a^2 / \sin^2 \theta} \frac{a}{\sin^2 \theta} d\theta \newline &= \frac{\mu_0}{4\pi a} I \int_{\theta_1}^{\theta_2} d\theta = \frac{\mu_0}{4\pi a} I \left(\cos \theta_1 - \cos \theta_2\right)\end{aligned}$$

1. 无限长直导线
   • $\theta_1 = 0$
   • $\theta_2 = \pi$
   • $B = \frac{\mu_0}{2\pi a} I$
2. 半无限长直导线
   • $\theta_1 = \frac{\pi}{2}$
   • $\theta_2 = \pi$
   • $B = \frac{\mu_0}{4\pi a} I$
3. 导线延长线上的磁场
   • $\theta_1 = \theta_2 = \pi$
   • $B = 0$

载流圆线圈轴线上的磁场

在真空中有一半径为 $R$，载流量为 $I$ 的圆线圈，场点 $P$ 在圆线圈轴线上，到圆线圈中心的距离为 $x$。

$$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Idl}{r^2}$$ 有 $$dB_{\parallel} = dB \sin \theta$$ $$dB_{\perp} = dB \cos \theta$$ 由于对称性，$dB_{\perp}$ 的积分为零，只需计算 $dB_{\parallel}$ 的积分。 $$B = \int dB_{\parallel} = \frac{\mu_0}{4\pi} I \int \frac{dl \sin \theta}{r^2}$$ 式中 $\sin \theta = \frac{R}{r}$

$$B = \frac{\mu_0 IR}{4\pi r^3} \int_0^{2\pi R} dl = \frac{\mu_0 IR^2}{2 r^3}$$ 由于 $r^2 = R^2 + x^2$，则 $$B = \frac{\mu_0 IR^2}{2 (R^2 + x^2)^{3/2}}$$ 方向满足右手螺旋定则关系。

1. 若 $x = 0$，即场点在圆线圈中心，则 $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$
2. 若载流导线为一段圆弧，则在其圆心处产生的磁场 $B = \frac{\mu_0 I}{2R} \frac{\theta}{2\pi}$
3. 若 $x \gg R$，则 $B = \frac{\mu_0 IR^2}{2x^3}$

磁偶极子

定义圆电流的磁矩为 $$\boldsymbol{m} = I \boldsymbol{S}$$ 单位为 $\text{A} \cdot \text{m}^2$。

由于 $S = \pi R^2$，结合 载流圆线圈轴线上的磁场公式 ，得
$$\boldsymbol{B} = \frac{\mu_0 \boldsymbol{m}}{2\pi x^3}$$ 该式与 静电场中的电偶极子的电场强度表达式 相似，而且磁感应线分布也与电偶极子的电场线分布相似，因此我们将圆电流称为磁偶极子。

载流直螺线管轴线上的磁场

可以视作无限多个载流圆线圈的叠加 设 $P$ 为轴线上一点，到螺线管一端的距离为 $x$，螺线管的半径为 $R$，载流量为 $I$，单位长度上有 $n$ 匝

$$dB = \frac{\mu_0}{2} \frac{R^2 dI}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0}{2} \frac{R^2 n I dx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$$ $$B = \int dB = \int \frac{\mu_0}{2} \frac{R^2 n I dx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$$

到螺线管某个微分点的距离为 $r$，夹角为 $\theta$
根据几何关系知： $$r^2 = R^2 + x^2, \quad r \sin \theta = R, \quad x = \frac{R}{\tan \theta}, dx = \frac{R d\theta}{\sin^2 \theta}$$

代入上式，得 $$dB = \frac{\mu_0}{2} \frac{R^2 n I}{(R / \sin \theta)^3} \frac{R d\theta}{\sin^2 \theta} = \frac{\mu_0}{2} n I \sin \theta d\theta$$

故得 $P$ 点的磁场为
$$B = \frac{\mu_0}{2} n I \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin \theta d\theta = \frac{\mu_0}{2} n I (\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$$

1. 当 $L \gg R$ 时，螺线管近似为无限长，即 $\theta_1 = \pi$，$\theta_2 = 0$，则 $B = \mu_0 n I$
2. 若 $P$ 点在任意一端的中心口处，且 $L \gg R$，则有 $\theta_1 = \pi / 2$， $\theta_2 = 0$ 或 $\theta_1 = \pi$， $\theta_2 = \pi / 2$，则 $B = \frac{\mu_0}{2} n I$

可见半无限长螺线管的磁场强度是无限长螺线管磁场强度的一半。

磁场的高斯定理和安培环路定理

磁通量和磁场的高斯定理

磁通量

类比于 静电场中引入的电通量 ，定义磁场中的磁通量为 $$\varPhi = \int \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S}$$ 在国际单位制中，磁通量的单位是韦伯，符号是 $\text{Wb}$。 $$1\text{Wb} = 1\text{T} \cdot \text{m}^2$$

磁场的高斯定理

由于磁场线是无头无尾的闭合曲线，从封闭曲面 $S$ 中穿出的磁场线必然会再次进入封闭曲面 $S$，因此磁场的高斯定理为

$$\oint \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S} = 0$$

安培环路定理

在静电场中，电场强度的环流等于零 ，即 $$\oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = 0$$

从 毕奥-萨伐尔定律 可以得到安培环路定理 安培环路定理的表述为：在恒定电流的磁场中，磁感应强度 $\boldsymbol{B}$ 沿任意闭合曲线 $L$ 的线积分（即环流）等于通过该闭合曲线内的电流代数和的 $\mu_0$ 倍。
即 $$\oint_L \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l} = \mu_0 \sum I_{\text{内}}$$ 式中，$\sum I_{\text{内}}$ 是通过环路 $L$ 内的电流代数和。
电流的正负号由电流的方向决定，若电流与环路的方向一致，则电流为正，否则为负。

安培环路定理的推导

若闭合曲线内包含有电流 取线元 $d\boldsymbol{l}$，在 $O$ 点处的距离为 $r$ ，张角为 $d\varphi$ ，与 $d\boldsymbol{l}$ 的夹角为 $\theta$。则有

$$rd\varphi = d\boldsymbol{l} \cdot \boldsymbol{r} = rdl\cos\theta$$ $$\oint_L \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l} = \oint_L Bdl\cos\theta =\oint_L Brd\varphi = \int_{0}^{2\pi} \frac{\mu_0 I}{2\pi r} rd\varphi = \mu_0 I$$

不包含电流时可以证明积分区域是两段角度互补的区域，所以积分为零。

磁场对载流导线的作用

安培力

$$\boldsymbol{F} = \int I\boldsymbol{B} \times d\boldsymbol{l}$$

磁场对载流线圈的作用

磁矩 $\boldsymbol{m}$ 为 $$\boldsymbol{m} = N I \boldsymbol{S}$$

磁力矩的效果是让载流线圈磁矩的方向与磁场方向一致。

$$\boldsymbol{M} = \boldsymbol{m} \times \boldsymbol{B}$$

磁场对运动电荷的作用

洛伦兹力

导线中的电流在磁场中受到的 安培力 为其中运动电荷所受洛伦兹力的宏观表现。

$$\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$$

洛伦兹力垂直于粒子的速度 $\boldsymbol{v}$ ，故它只改变速度方向，不改变速度大小，即不做功。

带电粒子在磁场中的运动

1. $\boldsymbol{v} \parallel \boldsymbol{B}$ 时，粒子做匀速直线运动。
2. $\boldsymbol{v} \perp \boldsymbol{B}$ 时，粒子做匀速圆周运动。
   • 回旋半径 $$R = \frac{mv}{qB}$$
   • 回旋周期 $$T = \frac{2\pi m}{qB}$$
   • 回旋频率 $$f = \frac{qB}{2\pi m}$$
3. $\boldsymbol{v}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 的夹角为 $\theta$ 时，粒子做螺旋线运动。 可将 $\boldsymbol{v}$ 分解为 $\boldsymbol{v_{\parallel}}$ 和 $\boldsymbol{v_{\perp}}$ 两部分
   • $\boldsymbol{v_{\parallel}}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 平行，不受磁场力作用，做匀速直线运动。
   • $\boldsymbol{v_{\perp}}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 垂直，受到磁场力作用，做匀速圆周运动。
   • 回旋半径 $$R = \frac{mv_{\perp}}{qB} = \frac{mv\sin\theta}{qB}$$
   • 螺距 在一个周期内，粒子在磁场中沿轴线方向移动的距离。 $$L = v_{\parallel}T = v_{\parallel} \frac{2\pi m}{qB} = \frac{2\pi m v\cos\theta}{qB}$$
   • 磁聚焦 当 $\theta$ 很小的时候， $v_{\parallel} \approx v$ ，一批带电粒子的速度分散在一定范围内，但是在磁场中运动后，速度分散减小，使得粒子聚焦在一点上。

应用实例

速度选择器

速度选择器是利用带电粒子在电场和磁场中的受力情况，使得只有特定速度的粒子通过的装置。 在速度选择器中，电场和磁场的方向垂直，电场的方向与磁场的方向相同，使得带电粒子在电场中受到的电场力和磁场力相互抵消，从而只有特定速度的粒子通过。 $$qE = qvB$$ $$v = \frac{E}{B}$$

汤姆孙实验

$$evB = \frac{mv^2}{r}$$ $$eE = evB$$ $$\frac{e}{m} = \frac{v}{rB} = \frac{E}{B^2r}$$

质谱仪

$$qvB’ = m\frac{v^2}{r}$$ $$m = \frac{qB’r}{v} = \frac{qBB’r}{E}$$

回旋加速器

$$\frac{T}{2} = \frac{\pi m}{qB}$$ $$v = \frac{qBR}{m}$$

霍尔效应

$$U_H = E_Hh = v_DBh$$ $$I = nqv_Dbh$$ $$U_H = \frac{IB}{nqb}$$ 其中 $U_H$ 为霍尔电压， $K_H = \frac{1}{nq}$ 为霍尔系数，只与材料有关。

磁场中的磁介质

磁介质对磁场的影响

类比 电介质对电场的影响 ，有介质时的磁场可以被表示为
$$\boldsymbol{B} = \boldsymbol{B_0} + \boldsymbol{B}’$$

其中，$\boldsymbol{B}$ 是介质中的磁感应强度，$\boldsymbol{B_0}$ 原磁场，$\boldsymbol{B}’$ 是介质产生的磁场。

根据实验表明，磁介质内的磁感应强度 $\boldsymbol{B}$ 为真空时的 $\mu_r$ 倍，即 $$\boldsymbol{B} = \mu_r \boldsymbol{B_0}$$ 式中，$\mu_r$ 是磁介质的相对磁导率，为无量纲量。

磁介质的种类

顺磁质

$$\mu_r > 1$$

抗磁质

$$\mu_r < 1$$

铁磁质

顺磁质和抗磁质的混合体的 $\mu_r$ 接近于1，而铁磁质的 $\mu_r$ 远大于1。
$\boldsymbol{B}$ 和 $\boldsymbol{B}’$ 方向相同，内部磁场被大大增强。

磁介质的磁化

磁介质内由大量杂乱的 分子磁矩 组成，可以用等效的圆电流即 分子电流 来描述 有外磁场时，磁介质的状态就会发生变化，这种现象称为 磁化 。

• 顺磁质在外磁场的作用下，分子磁矩的方向与外磁场方向一致，磁介质内部的磁场增强。
• 抗磁质在外磁场的作用下，在原有的磁矩方向上产生一个与外磁场方向相反的磁矩，磁介质内部的磁场减弱。

这些方向相同的附加磁矩的矢量和就是一个分子在外磁场中产生的 感生磁矩。

磁化强度

$$\boldsymbol{M} = \frac{\sum \boldsymbol{m}}{V}$$

磁化电流

$$I’ = \oint_L \boldsymbol{M} \cdot d\boldsymbol{l}$$

有磁介质时的安培环路定理

类似于 有介质时的高斯定理 ，通过引入适当的物理量可以简化问题。

$$\oint_L \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l} = \mu_0 (\sum I_{\text{0内}} + I’_{\text{内}})$$
移项得到
$$\oint_L \left(\frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0} - \boldsymbol{M}\right) \cdot d\boldsymbol{l} = \sum I_{\text{0内}}$$

引入磁场强度 $\boldsymbol{H}$，定义为 $$\boldsymbol{H} = \frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0} - \boldsymbol{M}$$

故安培环路定理可以简化为
$$\oint_L \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = \sum I_{\text{0内}}$$

磁化强度与磁场强度的关系

$$\boldsymbol{M} = \chi_m \boldsymbol{H}$$
式中，$\chi_m$ 为磁化率，是无量纲量。

代入 $$\boldsymbol{H} = \frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0} - \boldsymbol{M}$$ 得到 $$\boldsymbol{B} = \mu_0 (\boldsymbol{H} + \boldsymbol{M}) = \mu_0 (1 + \chi_m) \boldsymbol{H} = \mu_0 \mu_r \boldsymbol{H} = \mu \boldsymbol{H}$$
即 $$\boldsymbol{B} = \mu \boldsymbol{H}$$

$\mu_r = 1 + \chi_m$ 为磁介质的相对磁导率，$\mu = \mu_0 \mu_r$ 为磁介质的磁导率。

电磁感应和电磁场

法拉第电磁感应定律

法拉第电磁感应定律

$$\mathcal{E} = -\frac{d\varPhi}{dt}$$ 以上公式称为 法拉第电磁感应定律 ，其中 $\mathcal{E}$ 为感应 电动势 ，$\varPhi$ 为 磁通量 。

$$\varPsi = \sum_{i=1}^N \varPhi_i = \sum_{i=1}^N \int \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S}$$

若每一匝线圈的磁通量 $\varPhi_i$ 都相等，则有
$$\varPsi = N\varPhi$$

$\varPsi$ 称为 磁链

感应电动势和电流的方向满足右手螺旋定则。

楞次定律

通量表达

闭合回路中的感应电流的方向，总是使它所激发的磁场穿过回路自身的磁通量阻碍原磁通量的变化。

力表达

运动导体上的感应电流的安培力总是阻碍导体的运动。

动生电动势和感生电动势

动生电动势

定义

在电磁感应中，单纯由导体在磁场中运动产生的电动势称为 动生电动势。

计算方法

在导体棒 $ab$ 中产生的动生电动势应等于将单位正电荷从从导体棒的负极 $b$ 移动到正极 $a$ 时所做的功 $$\boldsymbol{E}_k = \frac{\boldsymbol{F}}{q} = \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$$
$$d\mathcal{E} = \boldsymbol{E}_k \cdot d\boldsymbol{l} = \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l}$$
$$\mathcal{E} = \int \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l} = Blv\sin\theta$$

• 若计算出的电动势为正，则电流方向与选取的方向一致；
• 若计算出的电动势为负，则电流方向与选取的方向相反。

能量起源

产生动生电动势的非静电起源是 洛伦兹力 而洛伦兹力是不做功的，但感应电动势可以输出电功，是否矛盾？ 洛伦兹力的功率是 $$\begin{aligned}P_L = \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{v} &= \left(\boldsymbol{F}_L + \boldsymbol{F}_L’ \right) \cdot \left(\boldsymbol{v} + \boldsymbol{v}’ \right) \newline &= e\boldsymbol{v}B\boldsymbol{v}’ - e\boldsymbol{v}‘B\boldsymbol{v} = 0\end{aligned}$$ 洛伦兹力的功率为零

所有电子宏观的运动导致了 安培力 的做功
由于安培力会阻碍导体棒的运动，要以恒定速度 $v$ 将导体棒移动，需要外力做功

$$P_{ext} = \boldsymbol{F}_{ext} \cdot \boldsymbol{v} = \boldsymbol{B} I \times \boldsymbol{L} \cdot \boldsymbol{v} = \mathcal{E} I$$

电动势的功率等于外力做功的功率，电能来源是外力克服安培力做功

感生电动势

定义

导体回路静止不动，导体回路中的磁通量随时间变化而产生的电动势称为 感生电动势。

计算方法

$$\mathcal{E} = -\frac{d\varPhi}{dt} = \int_S \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S}$$

能量起源

麦克斯韦猜想，变化的磁场会产生电场，感生电动势的能量来源是磁场的变化

$$\mathcal{E} = \oint_L \boldsymbol{E}_k \cdot d\boldsymbol{l} = -\frac{d\varPhi}{dt}$$

法拉第电磁感应定律的另一种表述

$$\mathcal{E} = \oint_L \left(\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} + \boldsymbol{E}_k \right) \cdot d\boldsymbol{l} = -\frac{d\varPhi}{dt}$$

感生电场

$$\oint_L \boldsymbol{E}_k \cdot d\boldsymbol{l} = -\int_S \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S}$$ 可以看出，感生电场的环流可以不为零。 可以证明，感生电场线是无头无尾的闭合曲线。 因此有 $$\oint_S \boldsymbol{E}_k \cdot d\boldsymbol{S} = 0$$ 此式称为感生电场的高斯定理。

总电场

可以根据上面的性质推出总电场的环路定理和高斯定理。
即 $$\oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{Q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}$$ $$\oint_L \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = -\frac{d\varPhi}{dt}$$

以上两式就是麦克斯韦方程组中关于电场的两个基本方程。

感生电场的方向

感生电场的方向就是感生电动势和感生电流的方向。
负号代表的含义就是反抗磁场的变化。
满足左手螺旋定则。

涡电流及电磁阻尼

当大块金属处在变化的磁场中或在磁场中运动时，在其内部会出现涡旋形状的感生电流，称为涡电流。

涡电流的热效应

涡流会产生大量的热，广泛用于电磁炉。

为了避免涡电流的热效应，常常采取多个硅钢片叠加的方法，使涡流被限制在单个绝缘的硅钢片中，从而减小涡电流的热效应。

涡电流的机械效应

常用于电磁阻尼器，如电磁制动器。

也可以用于电磁驱动，当磁场在运动的时候，导体会跟随磁场运动，交流感应电动机就是利用这个原理。

涡电流的电磁效应

金属探测器就是利用涡电流的电磁效应来探测金属的。
涡流也会产生磁场，这个磁场会反过来影响外部磁场，从而影响感应电动势，达到探测金属的目的。

自感与互感

自感

定义

当线圈中有电流 $I$ 通过时，电流 $I$ 所产生的磁场 $B$ 在线圈自身回路中也会产生磁通量 $\varPsi$，当电流 $I$ 随时间变化时，根据法拉第电磁感应定律，线圈在自身回路中会产生感应电动势 $\mathcal{E}$。

激发感应电动势的现象称为 自感，相应的感应电动势称为 自感电动势。

自感系数

根据 毕奥-萨伐尔定律 知，电流在空间中产生的磁场 $B$ 与电流 $I$ 成正比，故其产生的全磁通 $\varPsi$ 与电流 $I$ 成正比，即 $$\varPsi = L I$$ 其中 $L$ 为线圈的自感系数，单位为亨利（H）。 $$1 \mathrm{H} = 1 \mathrm{Wb/A} = 1 \mathrm{V \cdot s/A}$$

自感系数只与线圈本身的几何形状和材料有关，与电流的大小和方向无关。

$$B = \mu \frac{N}{l} I$$ $$\varPsi = \int B \cdot dS = \mu \frac{N}{l} I S$$ $$L = \frac{\varPsi}{I} = \mu \frac{N^2}{l} S = \mu n^2 V$$

自感电动势

当电流发生变化时，线圈中产生的感应电动势 $\mathcal{E}_L$ 为 $$\mathcal{E}_L = -L \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}$$ 负号代表自感电动势的方向总是阻碍电流的变化。

互感

当两个彼此靠近的线圈，当其中一个线圈中有电流 $I_1$ 通过时，会在另一个线圈中产生感应电动势 $\mathcal{E}_2$ 的现象称为 互感，相应的感应电动势称为 互感电动势。

互感系数

$$\varPsi_{21} = M_{21} I_1$$ $$\varPsi_{12} = M_{12} I_2$$

可以证明 $$M_{21} = M_{12} = M$$ 其中 $M$ 为两个线圈的互感系数，单位为亨利（H）。

互感电动势

当电流发生变化时，线圈中产生的感应电动势 $\mathcal{E}_M$ 为 $$\mathcal{E}_{21} = -\frac{d\varPsi_{21}}{dt} = -M \frac{dI_1}{dt}$$ $$\mathcal{E}_{12} = -\frac{d\varPsi_{12}}{dt} = -M \frac{dI_2}{dt}$$

磁场的能量和能量密度

自感感能

与 电容器 类似，线圈中也可以储存能量。 当自感系数为 $L$ 的线圈中通过电流 $I$ 时，线圈中的磁场能量为 $$W = \frac{1}{2} L I^2$$

载流线圈中储存的能量称为 自感感能。

磁场的能量密度

在通电螺线管中 $$W_m = \frac{1}{2} L I^2 = \frac{1}{2} \mu n^2 I^2 V = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu} V$$ 故磁场的能量密度为 $$w_m = \frac{W_m}{V} = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu}$$ 考虑到磁感应强度 $B$ 和磁场强度 $H$ 的关系 $$B = \mu H$$ 可得 $$w_m = \frac{1}{2} B H = \frac{1}{2} \mu H^2 = \frac{1}{2} \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{H}$$

虽然这条公式是从通电螺线管的能量公式推导出来的，但是可以证明，他对任何磁场都是普遍成立的。

磁场能量和电场能量的对比

若空间中既有电场又有磁场，则总能量密度为 $$w = w_e + w_m = \frac{1}{2} \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E} + \frac{1}{2} \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{H}$$

麦克斯韦方程组与电磁波

位移电流

在 安培环路定理 中 有以下公式 $$\oint_L \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = \sum I_{\text{0内}}$$ 其中 $\sum I_{\text{0内}}$ 是通过环路 $L$ 内的电流之和，可以通过 电流密度 $\boldsymbol{J_c}$ 来表示 即 $$\oint_L \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = \int_S \boldsymbol{J_c} \cdot d\boldsymbol{S}$$ 这一安培环路定理只适用于稳定电流 当非稳定电流通过导体时，导体内部会产生位移电流，即由于电场的变化而产生的电流
使用 高斯定理 可以得到
$$\boldsymbol{J_d} = \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}$$ $$I_d = \int_S \boldsymbol{J_d} \cdot d\boldsymbol{S} = \int_S \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{d\Phi_d}{dt}$$ 其中 $\Phi_d$ 电位移通量， $\boldsymbol{D}$ 电位移矢量 称 $\boldsymbol{J_d}$ 为位移电流密度， $I_d$ 为位移电流

$$\oint_{S_1} \boldsymbol{J_c} \cdot d\boldsymbol{S} + \oint_{S_2} \boldsymbol{J_d} \cdot d\boldsymbol{S} = 0$$ 即，流入曲面 $S_1$ 的传导电流等于流出曲面 $S_2$ 的位移电流

安培环路定理的普遍表达式

$$\oint_L \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = I_c + I_d = \int_S \left(\boldsymbol{J_c} + \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol{S}$$

上式是安培环路定理的普遍表达式，表明磁场强度 $\boldsymbol{H}$ 沿任意闭合回路的环流等于穿过以回路为边界的任意曲面的传导电流和位移电流之和

就磁效应而言，位移电流和传导电流是等效的，都是磁场的源 但是二者本质上是不同的，传导电流是由导体中电荷的移动产生的，而位移电流是由电场的变化产生的，无论是否有导体存在，只要电场的变化，就会产生位移电流

麦克斯韦方程组

$$\begin{aligned} \oint_S \boldsymbol{D} \cdot d\boldsymbol{S} &= \int_V \rho dV = q_0 \newline \oint_L \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} &= -\int_S \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S} \newline \oint_S \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S} &= 0 \newline \oint_L \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} &= I_c + \int_S \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \nabla \cdot \boldsymbol{D} &= \rho \newline \nabla \times \boldsymbol{E} &= -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \newline \nabla \cdot \boldsymbol{B} &= 0 \newline \nabla \times \boldsymbol{H} &= \boldsymbol{J} + \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \newline \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \boldsymbol{D} &= \varepsilon \boldsymbol{E} \newline \boldsymbol{B} &= \mu \boldsymbol{H} \newline \boldsymbol{J} &= \sigma \boldsymbol{E} \end{aligned}$$

$$\boldsymbol{F}_L = q(\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})$$

狭义相对论力学基础

狭义相对论的基本原理

牛顿绝对时空观

1. 空间是处处均匀的、各向同性的三维欧几里得空间，空间与物质的运动没有任何联系，空间中任意两点间的距离是一个与观测者所在参考系无关的绝对量，即空间长度是绝对的
2. 时间是从过去、现在到将来均匀地流逝着的，在整个宇宙，时间是划一的，也与物质的运动无关，两个事件之间的时间间隔不随参考系的改变而改变，即时间间隔也是绝对的
3. 空间与时间各自独立存在，是物体运动的基础，是第一位的，而物体运动在它们的框架内进行，是第二位的。

牛顿力学的这种对时间和空间的认识被称为牛顿绝对时空观。

伽利略变换

$$\begin{aligned}x’ &= x - ut \newline y’ &= y \newline z’ &= z \newline t’ &= t\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}v_x’ &= v_x - u \newline v_y’ &= v_y \newline v_z’ &= v_z\end{aligned}$$ 即 $$\boldsymbol{v}’ = \boldsymbol{v} - \boldsymbol{u}$$ 对时间求导 $$\boldsymbol{a}’ = \boldsymbol{a}$$

力学相对性原理

牛顿定律在任何惯性参考系中都成立，这就是力学相对性原理。

根据伽利略变换，有 $$m = m’ \quad \boldsymbol{a} = \boldsymbol{a}’$$ 即 $$\boldsymbol{F} = \boldsymbol{F}’$$

可见，伽利略变换也同样反映了力学相对性原理。

迈克尔逊-莫雷实验

迈克尔逊-莫雷实验是为了检验以太的存在。实验结果表明，光速在不同方向上都是相同的，这与以太的存在相矛盾。

当 $l = 10 \mathrm{m}$ 时，干涉条纹将移动 $0.37$ 条。但实验结果并没有看到预期的条纹移动。

爱因斯坦相对性原理

物理定律在所有惯性系中都具有相同的数学表达形式，即对包括电磁规律在内的所有物理规律，不同惯性系都是等价的，不存在任何特殊的惯性系（比如以太参考系）。这就是爱因斯坦相对性原理。

爱因斯坦光速不变原理

在所有惯性系中，光在真空中的传播速率都等于 $c$ 。也就是说，无论光源和观察者在真空中如何运动，无论光的频率是多少，测得的光速都相等。这就是爱因斯坦光速不变原理。

爱因斯坦正是在 光速不变原理 这一基本假设的基础上，推导得到了 同时性的相对性 这一狭义相对论中最本质的时空效应，并在此基础上得到了反映狭义相对论时空观的洛伦兹变换。

爱因斯坦认为， 相对性 是自然界的根本规律，这也是狭义相对论的实质，是对力学相对性原理的发展。

他认为，物质运动是客观的、第一位的；时间、空间与物质运动紧密相连，可随着物质运动的不同而变化，是第二位的。

相对论时空效应

空间和时间的测量

事件

某时在空间某点发生的事情称为一个事件。
描述一个事件需要四个量：三个空间坐标和一个时间坐标，即 $(x, y, z, t)$。

同时性

同地同时性

同地同时性是绝对的，其同时性不会因为参考系的改变而发生改变，这意味着一个参考系对事件时间坐标的准确测址也会被其他参考系中的观测者所认同，这样，不同参考系中测得的同一事件的不同时间坐标之间的对比才有意义。

异地同时性

异地同时性是相对的，其同时性会因为参考系的不同而不同，异地同时性的相对性是相对论时空效应中最本质的效应。

时钟

由于对事件时间坐标的测量要求用事件发生处的时钟，而事件可能发生在空间任意地点。 因此在参考系的不同坐标处都有用来测量时间的时钟，这些时钟彼此间是对齐和同步的，也称为同步钟。 每个参考系都有属于自己的一系列同步钟。如果事件发生在 $x$ 坐标处，就需要用 $x$ 坐标处时钟来测量事件发生的时间坐标。设此时 $x$ 处时钟的指针正好指向 $t$ 时刻，则事件发生的时空坐标就为 $(x, t)$。

时间延缓效应

$$\Delta t = \frac{\Delta t’}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}$$

其中 $\Delta t$ 是在观测者坐标系测得的两事件之间的时间间隔，$\Delta t’$ 是事件在事件发生处的参考系中实际的时间间隔，$u$ 是观测者相对于事件发生处的参考系的速度，$c$ 是光速。

由于测得的时间间隔 $\Delta t$ 比实际时间间隔 $\Delta t’$ 要长，所以称为时间延缓效应。

长度收缩效应

由 $l’ = u \cdot \Delta t’$ 和 $l = u \cdot \Delta t$ 可得
$$l = l’ \cdot \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}$$ 其中 $l$ 为在观测者坐标系中测得的长度，称为运动长度，$l’$ 为事件发生处的参考系中实际的长度，称为固有长度

由于测得的长度 $l$ 比实际长度 $l’$ 要短，所以称为长度收缩效应。

长度收缩效应是一个纵向的效应，即只有在物体运动方向上的长度才会发生收缩。

由于时间延缓效应和长度收缩效应都是相对的，在两个系中观测对方的时钟和尺子，都会发现对方的时钟走得慢，尺子变短。

洛伦兹变换

洛伦兹变换

一个事件： $S$ 系中的坐标为 $(x, y, z, t)$， $S’$ 系中的坐标为 $(x’, y’, z’, t’)$，两个系之间的相对速度为 $u$ 满足以下关系：

1. $x$, $y$, $z$ 轴与 $x’$, $y’$, $z’$ 轴平行
2. $S’$ 系相对 $S$ 系沿 $x$ 轴正方向以速度 $u$ 运动
3. 当 $t = t’ = 0$ 时，两个系的坐标原点重合

$$\begin{aligned} \left. \begin{array}{ll} x’ &=& \frac{x-ut}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \newline y’ &=& y \newline z’ &=& z \newline t’ &=& \frac{t-\frac{u}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \end{array} \right \rbrace \quad \leftrightarrows \quad \left\lbrace \begin{array}{ll} x &=& \frac{x’ + ut’}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \newline y &=& y’ \newline z &=& z’ \newline t &=& \frac{t’ + \frac{u}{c^2}x’}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \end{array} \right. \end{aligned}$$

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$$
称为洛伦兹因子。 有 $$x’ = \gamma(x-ut)$$ 根据爱因斯坦相对性原理，两个系之间除了相对速度相反之外，没有其他差别，因此有 $$x = \gamma(x’+ut’)$$

$$x^2 + y^2 + z^2 - c^2t^2 = x’^2 + y’^2 + z’^2 - c^2t’^2 = 0$$

同时性的相对性

在 $S$ 系中，两个事件 $A$ 和 $B$ 在 $x$ 轴上的坐标分别为 $x_A$ 和 $x_B$，在 $S’$ 系中，两个事件的坐标分别为 $x’_A$ 和 $x’_B$，则有 $$x_A = \gamma(x’_A + ut’_A)$$ $$x_B = \gamma(x’_B + ut’_B)$$ 两个事件同时发生的条件是 $t_A = t_B$，即 $t’_A = t’_B$，则有 $$x_A = \gamma(x’_A + ut’_A) = \gamma(x’_B + ut’_B) = x_B$$ 即在 $S$ 系中同时发生的两个事件，在 $S’$ 系中不一定同时发生，这就是同时性的相对性。

因果律

在 $S$ 系中，事件 $A$ 发生在事件 $B$ 之前，即 $t_A < t_B$，则有 $$t’_A = \frac{t_A - \frac{u}{c^2}x_A}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} < \frac{t_B - \frac{u}{c^2}x_B}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} = t’_B$$ 即在 $S’$ 系中，事件 $A$ 同样发生在事件 $B$ 之前，这就是因果律。

相对论速度变换

相对论力学基础

相对论动量和质量

$$m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$ $$\boldsymbol{p} = \gamma m_0 \boldsymbol{v} = \frac{m_0\boldsymbol{v}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$ $$\boldsymbol{F} = \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} = m \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{v} = m\boldsymbol{a} + \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{v}$$

质能关系

相对论动能

$$\mathrm{d}A = \boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}$$ 求粒子被加速到速度 $v$ 时的动能 $$A = \int_0^v \boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{x} = \int_0^v \frac{\mathrm{d}(mv)}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}x = \int_0^v v\mathrm{d}(mv)$$ 由 $$m^2(c^2 - v^2) = m_0^2c^2$$ 得 $$2mc^2\mathrm{d}m - 2mv\mathrm{d}(mv) = 0$$ 得 $$c^2\mathrm{d}m = v\mathrm{d}(mv)$$ 代入上式得 $$A = \int_0^v v\mathrm{d}(mv) = \int_0^v c^2\mathrm{d}m = c^2(m - m_0)$$ 因此可得粒子的动能为 $$E_k = c^2(m - m_0)$$ 另外，当 $v \ll c$ 时，利用泰勒展开式可得 $$E_k = m_0c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1\right) \approx \frac{1}{2}m_0v^2$$

相对论能量

在上式中动能被表示为两项的差，其中 $m_0c^2$ 与静止质量有关，称为静止能量，用 $E_0$ 表示， $mc^2$ 与相对论质量有关，称为相对论能量或总能量，用 $E$ 表示，即
$$E = mc^2$$ 这就是爱因斯坦的质能关系。

质量和能量是物质相互联系、不可分割的两个基本属性，二者之间可以相互转化，质量可以转化为能量，能量也可以转化为质量。

静止能量是牛顿力学中没有的全新的物理概念，它表明孤立的物体即使静止也具有能量，这种能量包括物体内所有微观粒子的动能和势能等一切形式的能量，是物体内能的总和．

相对论能量守恒定律

$$\sum_i E_i = \sum_i m_ic^2 = \text{常量} \Longleftrightarrow \sum_i m_i = \text{常量}$$

能量守恒定律和质量守恒定律是等价的，二者被独立发现，在相对论中被统一起来。 但是应该明确，质量守恒指的是相对论运动质量的守恒，而不是静止质量的守恒。

质量亏损

$$E = m_0c^2 + E_k$$ 如果在一个封闭系统中发生了一个变化或反应，反应前后粒子的静止质量由 $m_{0_1}$ 变为 $m_{0_2}$，相应的动能由 $E_{k_1}$ 变为 $E_{k_2}$，则有 $$m_{0_1}c^2 + E_{k_1} = m_{0_2}c^2 + E_{k_2}$$ 即 $$\Delta m_0c^2 = \Delta E_k$$

相对论能量和动量的关系

将 $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ 代入 $E = mc^2$ 和 $p = mv$ 可得 $$E^2 = p^2c^2 + m_0^2c^4$$ 这就是相对论能量和动量之间的关系式

微观粒子的波粒二象性

光电效应-爱因斯坦光量子理论

光电效应

饱和光电流 $i_m$

当入射光强度 $I$ 一定时，光电流随加速电压 $U$ 的增大而增大，但当加速电压增大到一定值时，光电流达到最大值，此时的光电流称为饱和光电流，用 $i_m$ 表示。

饱和光电流与光强成正比，与入射光的频率无关。

截止电压 $U_a$

当加速电压减少到 $0$ 且反向变为负值时，光电流不直接变为 $0$，而是逐渐减小。

当反向电压加到一定值时，光电流变为 $0$，此时的电压称为截止电压，用 $U_a$ 表示。

$$eU_a = \frac{1}{2}m_{e}v^2_{\text{m}}$$

截止频率 $\nu_0$

当入射光的频率 $\nu$ 增大时，截止电压 $U_a$ 随之线性增大，即
$$U_a = \frac{h\nu - A}{e}$$

存在截止频率 $$\nu_0 = \frac{A}{h}$$ 当 $\nu < \nu_0$ 时，光电效应不发生。 $A$ 为逸出功。

弛豫时间

无论光强怎样微弱，光电效应滞后时间不超过 $10^{-9},\text{s}$。

与经典理论的矛盾

1. 光电子的最大初动能与入射光的频率有关，而与光强无关。
2. 当入射光的频率小于截止频率时，无论光强多大，光电效应都不发生。
3. 无论光强怎样微弱，不需要累计时间，光电效应就会立即发生。

爱因斯坦光量子理论

对于频率为 $\nu$ 的光量子，其能量 $\varepsilon$ 与频率成正比，即 $$\varepsilon = h\nu$$ 其中 $h$ 为普朗克常数。

光量子后改称为光子，沿用至今

爱因斯坦光电效应方程

$$\frac{1}{2} m_e v^2_{\text{m}} = h\nu - A$$ 式中 $A$ 为逸出功。

光的强度

$$I = Nh\nu$$ 式中 $N$ 为单位时间内通过单位面积的光子数。

光的波粒二象性

将 $\varepsilon = h\nu$ 代入 $E = mc^2$ 可得 $$m = \frac{h\nu}{c^2} = \frac{h}{c\lambda}$$
则光子的相对论动量为 $$p = mc = \frac{h\nu}{c} = \frac{h}{\lambda}$$

康普顿效应

康普顿效应

1923年，美国物理学家 阿瑟·康普顿 在观察X射线被石墨等物质散射时，发现在散射线中除有与入射波长相同的射线外，还有波长比入射波长更长的射线，这种有波长改变的散射现象称为康普顿效应。

康普顿散射公式

实验给出的波长偏移量 $\Delta\lambda$ 与散射角 $\varphi$ 之间的关系为 $$\Delta\lambda = \lambda_c(1 - \cos\varphi)$$
式中的 $\lambda_c$ 称为康普顿波长，其表达式为
$$\lambda_c = \frac{h}{m_ec} = 2.43\times10^{-12},\text{m}$$

康普顿效应与经典理论的矛盾

经典波动理论无法解释上述波长改变了的康普顿效应。 按照经典波动理论，在X射线的照射下，物质中的带电粒子将从入射光中吸收能量，做同频率的受迫振动，所辐射的电磁波的频率也应与入射光的频率相同，因而不会发生波长改变。

光量子解释

在光子射到散射体上并和某一原子中的外层电子发生碰撞过程中，电子会吸收一部分能量，脱离原子而反冲出去，称为反冲电子；所以散射光子的能量就要比入射光子的能量小，因而散射光的频率会变小，而波长会变长。

设碰撞前入射光子的频率为 $\nu_0$ ，则其能量为 $h\nu_0$ ，动量为 $p = \frac{h\nu_0}{c}$ ，其中， $\boldsymbol{e}_0$ 为入射光方向上的单位矢量； 静止的自由电子能量为 $m_ec^2$ ，动量为零。

碰撞后，散射角为 $\varphi$ 的散射光子的能量为 $h\nu$ ，动量为 $p’ = \frac{h\nu}{c} \boldsymbol{e}$ ，其中， $\boldsymbol{e}$ 为散射光方向上的单位矢量。 反冲速度为 $v$ 的电子质量为 $$m = \frac{m_e}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \tag{1}$$
能量为 $mc^2$ ，动量为 $mv$ 。

由动量守恒和能量守恒可得 $$h\nu_0 + m_ec^2 = h\nu + mc^2 \tag{2}$$ $$\frac{h\nu_0}{c}\boldsymbol{e}_0 = \frac{h\nu}{c}\boldsymbol{e} + m\boldsymbol{v} \tag{3}$$

其中下式可以写成两个分量方程 $$\frac{h\nu_0}{c} = \frac{h\nu}{c}\cos\varphi + mv\cos\theta \tag{4}$$ $$\frac{h\nu}{c}\sin\varphi = mv\sin\theta \tag{5}$$ 联立$(4)(5)$，消去 $\theta$ 可得 $$m^2v^2c^2 = h^2 \left(\nu_0^2 + \nu^2 - 2\nu_0\nu\cos\varphi\right) \tag{6}$$ 又因为 $$m^2c^4 = h^2\left(\nu_0^2+\nu^2-2\nu_0\nu\right)+m_e^2c^4+2hm_ec^2\left(\nu_0-\nu\right) \tag{7}$$

$(6)$ 式减去 $(7)$ 式，代入 $(1)$ 式可得 $$2h\nu_0\nu(1-\cos\varphi) = 2hm_ec^2(nu_0-\nu)$$

于是有 $$\Delta\lambda = \lambda - \lambda_0 = \frac{c}{\nu} - \frac{c}{\nu_0} = \frac{h}{m_ec}(1-\cos\varphi) = \lambda_c(1-\cos\varphi)$$ 与实验结果一致。

散射电子不能吸收光子

假设自由电子能够完全吸收光子，则由能量守恒定律和动量守恒定律可得 $$h\nu_0 + m_ec^2 = mc^2$$ $$\frac{h\nu_0}{c}\boldsymbol{e}_0 = mv\boldsymbol{e_0}$$ 上式与 $$m = \frac{m_e}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$ 联立可得到 $$v = c$$ 违背了相对论。

氢原子光谱-玻尔的氢原子理论

氢原子光谱

氢原子的光谱呈现分立离散的线状光谱，称为氢光谱。

用波长的倒数 $\sigma = \frac{1}{\lambda}$ 来代替光谱线的波长

谱系

$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$$

巴尔末系

式中 $R_{\infty} = 1.097 \times 10^7 , \text{m}^{-1}$ 称为里德伯常量

莱曼系

$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{1^1} - \frac{1}{n^2} \right)$$

帕邢系

$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{n^2} \right)$$

布拉开系

$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{n^2} \right)$$

普丰德系

$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{5^2} - \frac{1}{n^2} \right)$$

广义巴尔末系

$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2} \right), \quad m = 1, 2, 3, \cdots, n - 1$$

玻尔的氢原子理论

玻尔突破经典物理学的束缚，结合了经典力学和量子力学的思想，提出了氢原子的理论模型，包含下面三个假设：

1. 定态假设 一个原子系统能够并且只能经常的处于一系列特定的能量状态，这些状态称为定态。 虽然电子在绕核旋转，但是它不会辐射能量，也不会坠入核内。
2. 频率条件 电子在不同的能级之间跃迁时，辐射或者吸收的光子的频率满足 $$h\nu = \left|E_f - E_i\right|$$ 其中 $E_f$ 为最终能级， $E_i$ 为初始能级。
3. 角动量量子假设 电子以速度 $v$ 在半径为 $r$ 的圆周上绕核运动，只有电子的角动量大小 $L$ 等于 $\hbar$ 的整数倍的那些轨道是稳定的，即 $$L = m_evr = n\hbar$$ 其中 $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ 为约化普朗克常数， $n$ 为量子数， $n = 1, 2, 3, \cdots$

氢原子的能量公式

从这些假设出发，可以推导出氢原子的能量公式 $$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2} = m_e \frac{v^2}{r}$$ $$r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_ee^2}n^2$$ 当 $n = 1$ 时，轨道半径最小为 $a_0 = 0.529 \times 10^{-10} , \text{m}$，称为玻尔半径。

电子在某一定态轨道上运动时，氢原子系统的总能量即定态能量为 $$E = E_k + E_p = \frac{1}{2} m_e v^2 - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}$$

将 $r_n$ 代入上式可得 $$E_n = -\frac{e^2}{2\left(4\pi\varepsilon_0\right)r_n} = -\frac{m_ee^4}{2\left(4\pi\varepsilon_0\right)^2\hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2} = -\frac{13.6}{n^2} , \text{eV}$$

其中 $n$ 只能取一系列正整数，称为主量子数。

$n = 1$ 时，称为基态， $n = 2, 3, 4, \cdots$ 时，称为激发态。 $E_1 = -13.6 , \text{eV}$，氢原子的电离能 $E_i = E_{\infty} - E_1 = 13.6 , \text{eV}$

类氢离子的能级公式

类氢离子如 $He^+$，$Li^{2+}$ 等的能级公式为 $$E_n = -\frac{m_ee^4}{2\left(4\pi\varepsilon_0\right)^2\hbar^2} \cdot \frac{Z}{n^2} = -\frac{13.6Z}{n^2} , \text{eV}$$ 其中 $Z$ 为核电荷数。

光子的频率与波长

$$\nu = \frac{E_n - E_m}{h} = \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2 \frac{m_ee^4}{4\pi\hbar^3} \left(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}\right)$$

$$\sigma = \frac{1}{\lambda} = \frac{\nu}{c} = \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\frac{m_ee^4}{4\pi\hbar^3c} \left(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}\right)$$ 与广义巴尔末系的公式相同。可得里德堡常量 $$R_{\infty} = \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\frac{m_ee^4}{4\pi\hbar^3c} = 1.097 \times 10^7 , \text{m}^{-1}$$

粒子的波动性

德布罗意波

一个质量为 $m$ 、速度为 $v$ 的粒子，既具有以能量 $E$ 和 动量 $p$ 描述的 粒子性，又具有以波长 $\lambda$ 和频率 $\nu$ 描述的 波动性。这种波动性称为 德布罗意波。

他们之间的关系与光波的关系类似，即： $$\nu = \frac{E}{h} = \frac{mc^2}{h}$$ $$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$ 其中 $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ 为粒子的运动质量。 上式称为 德布罗意关系。
$\lambda$ 称为 德布罗意波长， $\nu$ 称为 德布罗意频率。

波函数

根据量子力学的基本假设，粒子的波动性表现为 概率波。
概率波的振幅的平方表示粒子在某一位置出现的概率密度。概率波的波函数通常用 $\psi$ 表示，其满足薛定谔方程：

$$ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi $$

其中 $\hbar$ 是约化普朗克常数，$\hat{H}$ 是哈密顿算符。

波函数的物理意义

波函数 $\psi$ 的绝对值的平方 $|\psi|^2$ 表示粒子在某一位置出现的概率密度。波函数的相位则与粒子的动量和能量有关。

归一化条件

为了保证粒子在整个空间内出现的概率为1，波函数 $\psi$ 必须满足归一化条件：

$$ \int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2 , dx = 1 $$

叠加原理

量子力学中的波函数可以叠加，即如果 $\psi_1$ 和 $\psi_2$ 是两个可能的波函数，那么它们的线性组合 $\psi = c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2$ 也是一个可能的波函数，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是常数。

测量与坍缩

在量子力学中，对粒子的测量会导致波函数的坍缩，即波函数会瞬间变为测量结果对应的本征态。这一过程称为波函数坍缩。

自由粒子的波函数

自由粒子的波函数为平面波，即 $\psi = A e^{i(kx - \omega t)}$，其中 $A$ 为常数，$k$ 为波数，$\omega$ 为角频率。 用德布罗意关系可得： $$ k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{p}{\hbar} $$ $$ \omega = 2\pi \nu = \frac{E}{\hbar} $$ 因此，自由粒子的波函数可表示为： $$ \psi = A e^{\frac{i}{\hbar}(px - Et)} $$ 其中 $A$ 为常数。 对于三维空间中的自由粒子，波函数为： $$ \psi = A e^{\frac{i}{\hbar}(\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} - Et)} $$

其中 $\boldsymbol{p}$ 为动量，$\boldsymbol{r}$ 为位置矢量。 $$\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} = p_x x + p_y y + p_z z$$ 在非相对论情况下，自由粒子的能量为： $$E = \frac{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}{2m}$$

不确定关系

不确定关系

$$\begin{aligned} \Delta x \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} \newline \Delta y \Delta p_y \geq \frac{\hbar}{2} \newline \Delta z \Delta p_z \geq \frac{\hbar}{2} \newline \Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} \end{aligned}$$

薛定谔方程及其应用

薛定谔方程

一般形式的薛定谔方程

$$\hat{H}\varPsi=i\hbar\frac{\partial\varPsi}{\partial t}$$
其中 $\hat{H}$ 是哈密顿算符，$\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U$ ， $U$ 是势能函数。
对于一维情况，薛定谔方程的一般形式为
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varPsi}{\partial x^2}+U\varPsi=i\hbar\frac{\partial\varPsi}{\partial t}$$

定态薛定谔方程

对于定态，即 $\varPsi(x,t)=\psi(x)e^{-iEt/\hbar}$ ，概率密度 $|\varPsi|^2=\varPsi^*\varPsi = |\psi|^2$ 不随时间变化。
代入薛定谔方程得到
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+U\psi=E\psi$$
即
$$\hat{H}\psi=E\psi$$
称为 $\hat{H}$ 的本征方程， $\psi$ 为本征函数， $E$ 为本征值。

$E=\displaystyle{\frac{p^2}{2m}} + U$ ， $p$ 为动量。 即能量为动能和势能之和。

一维无限深势阱

一维无限深势阱的势能函数为
$$U(x)=\begin{cases}0, & 0<x<a \newline +\infty, & \text{其他}\end{cases}$$
波函数为
$$\psi(x)=\begin{cases}\displaystyle{\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{n\pi x}{a}}, & 0<x<a \newline 0, & \text{其他}\end{cases}$$
由定态薛定谔方程得到能量本征值
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}=E\psi$$
$$E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$$
由
$$E_n=\frac{p_n^2}{2m}$$
得到动量本征值
$$p_n=\frac{n\pi\hbar}{a} = \frac{h}{2a}n$$
故波长为
$$\lambda_n=\frac{h}{p_n}=\frac{2a}{n}$$

一维谐振子

一维谐振子的势能函数为
$$U(x)=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}m\omega^2x^2$$
求得能级公式为
$$E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)=\left(n+\frac{1}{2}\right)h\nu$$

其中基态能量为
$$E_0=\frac{1}{2}h\nu$$
称为零点能。

谐振子的最低能量不等于零，即它永远不能静止不动。

势垒穿透

在势能有限的情况下,微观粒子可以穿过势垒到达另一侧，称“隧道效应”。

原子中的电子

氢原子

四个量子数

氢原子的波函数由四个量子数确定：主量子数 $n$、角量子数 $l$、磁量子数 $m$ 和自旋量子数 $s$。

主量子数-能量量子化

主量子数 $n$ 决定了 能级 的大小，取值范围为 $n = 1, 2, 3, \cdots$。 $$E_n = -\frac{e^2}{2\left(4\pi\varepsilon_0\right)r_n} = -\frac{m_ee^4}{2\left(4\pi\varepsilon_0\right)^2\hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2} = -\frac{13.6}{n^2} , \text{eV}$$

角量子数-角动量量子化

角量子数 $l$ 决定了轨道的形状，取值范围为 $l = 0, 1, 2, \cdots, n-1$。
用 $L$ 表示角动量的大小，有
$$L = \sqrt{l\left(l+1\right)}\hbar$$

磁量子数-角动量空间取向量子化

磁量子数 $m_l$ 决定了轨道的空间方向，取值范围为 $m_l = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots, \pm l$。 轨道角动量在 $z$ 方向的投影为 $$L_z = m_l\hbar$$

自旋量子数与自旋磁量子数-自旋量子化

自旋量子数 $s$ 决定了电子的自旋方向，只能取 $s = \frac{1}{2}$ $$S = \sqrt{s\left(s+1\right)}\hbar = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar$$ 自旋磁量子数 $m_s$ 决定了自旋在 $z$ 方向的投影，取值范围为 $m_s = \pm \displaystyle{\frac{1}{2}}$。 $$S_z = m_s\hbar$$

总角动量

$$\boldsymbol{J} = \boldsymbol{L} + \boldsymbol{S}$$ $$J = \sqrt{j\left(j+1\right)}\hbar$$ 其中 $j = \begin{cases}l+\frac{1}{2}, & \text{当} l = 0, 1, 2, \cdots, n-1 \newline l-\frac{1}{2}, & \text{当} l = 1, 2, \cdots, n-1\end{cases}$

氢原子波函数

氢原子波函数的一般形式为： $$\varPsi_{n,l,m} = R_{n,l}(r) Y_{l,m_l}(\theta, \phi)$$ 其中 $R_{n,l}(r)$ 为径向波函数，$Y_{l,m_l}(\theta, \phi)$ 为球谐函数。

能量最低原理

原子处于正常状态时，其中电子都要占据最低能级。 判断能级高低的经验公式： $$n + 0.7l$$ 其值越小，能级越低。

例如：

• $4s$ ($l=0$) 能级：$n + 0.7l = 4 + 0.7 \times 0 = 4$
• $3d$ ($l=2$) 能级：$n + 0.7l = 3 + 0.7 \times 2 = 4.4$
  可以解释电子先填充 $4s$ 而不是 $3d$。

泡利不相容原理

一个原子中的电子总是倾向于占据能量最低的轨道，而且每个轨道最多只能容纳两个电子，且这两个电子的自旋量子数必须相反。

壳层

$n$ 相同的可能电子态构成一个壳层。
$n = 1, 2, 3, \cdots$ 表示为 $K, L, M, N, O, P, \cdots $ $n$ 壳层最多容纳的电子数为 $2n^2$。

支壳层

($n$ 相同), $l$ 相同的可能电子态构成一个支壳层。
$l = 0, 1, 2, \cdots$ 表示为 $s, p, d, f, g, h, \cdots$
$l$ 支壳层最多容纳的电子数为 $2(2l+1)$。