静电场

库仑定律

电荷

同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引
电荷守恒定律：封闭系统内电荷总量不变
电荷量的最小单位是电子电荷量，$e=1.6\times10^{-19}C$
电荷量的量子化：$Q=ne$

两个理想模型

点电荷模型：电荷半径远小于与之距离的物体尺寸
连续电荷分布模型：电荷半径远大于与之距离的物体尺寸

库仑定律

库伦使用扭秤实验得到了电荷之间的相互作用力与电荷量大小和距离的平方成正比的关系，即库仑定律。
$$\boldsymbol{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r_{12}^2}\boldsymbol{e_{r_{12}}}$$

其中$\varepsilon_0=8.85\times10^{-12}C^2/N\cdot m^2$为真空介电常数，$\boldsymbol{e_{r_{12}}}$为单位矢量。
公式中引入了 $4\pi$ 银子的做法，称为单位制的有理化，虽然会使公式看起来更复杂，但是可以使电磁学中的其他公式相对简单。

库仑定律的适用条件

在真空中
电荷处于静止状态
点电荷
- 若两个电荷之间并非相对静止，则显然 $F_1 \neq F_2$，则两个电荷之间的相互作用力不满足牛顿第三定律

电场力的叠加

$$ \boldsymbol{F} = \sum_{i=1}^n \boldsymbol{F_i} = \sum_{i=1}^n \frac{q_iq_0}{4\pi\varepsilon_0r_{i0}^2}\boldsymbol{e_{r_{i0}}} $$

电场

与电荷的关系

$$\text{电荷} \rightleftharpoons \text{电场} \rightleftharpoons \text{电荷}$$

电场对外的表现主要有

电场力
做功：具有电场能
静电感应现象和极化现象

电场强度

定义

$$\boldsymbol{E} = \frac{\boldsymbol{F}}{q}$$

点电荷产生的电场强度

$$\boldsymbol{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\boldsymbol{e_r}$$

电偶极子

电荷连续分布的带电体产生的电场

$$d\boldsymbol{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^2}\boldsymbol{e_r}$$ $$\boldsymbol{E} = \int d\boldsymbol{E} = \int \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^2}\boldsymbol{e_r}$$ 可以把矢量分别沿三个坐标轴分解，然后分别积分，最后合成矢量。 $$d\boldsymbol{E} = dE_x \boldsymbol{i} + dE_y \boldsymbol{j} + dE_z \boldsymbol{k}$$ $$E_x = \int dE_x, \quad E_y = \int dE_y, \quad E_z = \int dE_z$$

电荷密度

电荷线密度 $$\lambda_e = \frac{dq}{dl}$$
电荷面密度 $$\sigma_e = \frac{dq}{dS}$$
电荷体密度 $$\rho_e = \frac{dq}{dV}$$

几个模型

点电荷模型
电偶极子
无限长均匀带电直线 $r$ 为距离直线的距离，$\lambda_e$ 为线密度，则当 $r \gg l$ 时 (即 $r$ 远大于线长) $$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2\lambda}{r}$$ 等价于一个点电荷产生的电场
均匀带电圆环 $r$ 为距离圆心的距离，$\lambda_e$ 为线密度，则 $$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qr}{(r^2 + R^2)^{\frac{3}{2}}}$$ 当 $r \gg R$ 时 (即 $r$ 远大于圆环半径) $$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$$
无限大均匀带电平面 $r$ 为距离平面的距离，$\sigma_e$ 为面密度，则当 $r \gg l$ 时 (即 $r$ 远大于平面长) $$E = \frac{\sigma_e}{2\varepsilon_0}$$
均匀带电圆盘
- $r$ 接近于 $0$ 时，圆盘可看作一个无限大带电平面，即 $E = \frac{\sigma_e}{2\varepsilon_0}$
- $r$ 远大于圆盘半径时，圆盘可看作一个点电荷，即 $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$
无限大带电厚壁 $r$ 为距离平面左端的距离，$\rho_e$ 为体密度，$d$ 为厚度。可以看作连续的无限大带电平面，即 $$E = \int_{0}^{d} \frac{\frac{d \rho_e}{dx}}{2\varepsilon_0} dx$$

静电场的高斯定理

电场强度通量

对于闭合的曲面，正负号表示电场线的穿入和穿出。一般定义电场线从介质内部穿出为正，从介质外部穿入为负。
对于开放曲面，正负号表示电场线的方向。
- 一般定义从下往上为正，从上往下为负。
- 从左往右为正，从右往左为负。
- 从里往外为正，从外往里为负。

$$\varPhi_e = \oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S}$$

高斯定理

$$\varPhi_e = \oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$$ 高斯定理是电场强度通量的一个重要定理，它表明了电场强度通量与电荷量之间的关系。
说明静电场是有源场，正电荷是电场的源，负电荷是电场的汇。

高斯定理不能说明闭合曲面内处处没有电荷，只能说明闭合曲面内的电荷总量。

高斯定理的应用

对于球对称的问题，一般取高斯面为球面，与电场线垂直
对于轴对称的问题，一般取高斯面为圆柱面，侧面与电场线垂直
对于平面对称的问题，一般取高斯面为柱面，两底面与电场线垂直

静电场的环路定理与电势

静电场的环路定理

引理

$$A_{ab} = \int_{a}^{b} d\boldsymbol{A} = \int_{a}^{b} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = \int_{a}^{b} E \cdot dl \cdot \cos \theta$$

环路定理

$$\oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = 0$$ 表述为：在静电场电场强度的环流等于零。

与 高斯定理 一样，也是表述静电场性质的一个重要定理，可以用环路定理检验一个电场是否是静电场。

静电势能

静电力做的功： $$A_{ab} = \int_a^b \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{l} = W_a - W_b = -\Delta W$$ 对于试验电荷 $q$，在电场中移动的过程中，电场力做的功为 $$A_{ab} = \int_a^b \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{l} = q \int_a^b \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = q \int_a^b E \cdot dl \cdot \cos \theta$$ 将电荷移到电势零点电场力做的功称为电荷在电场中的势能，即 $$\Delta W = W_a - W_b = q \int_a^b E \cdot dl \cdot \cos \theta = q \int_a^b E \cdot dl = q \Delta U$$ 电势能单位为焦耳，符号为 $\text{J}$。

电势与电势差

$$\varphi = \frac{W}{q} = \int_{a}^{\text{电势零点}} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}$$ 在理论计算中通常选取无穷远为电势零点，即 $$\varphi = \int_{P}^{\infty} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} \quad (\varphi_{\infty} = 0)$$ 电势差，也称电压，是指两点之间的电势差，即 $$U_{ab} = \varphi_a - \varphi_b = \int_{a}^{b} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}$$ 静电力做的功可以表示为 $$A_{ab} = q U_{ab}$$

电势能的计算

积分

$$\varphi = \int_{P}^{\infty} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = -\int_{\infty}^{P} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}$$

点电荷

$$\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r}$$

叠加法

$$\varphi = \sum_{i=1}^n \varphi_i = \sum_{i=1}^n \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_i}{r_i}$$ $$\varphi = \int d\varphi$$

等势面

等势面上的法向量与电场强度的方向相同，即 $$\boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = 0$$

电偶极子

定义

电偶极子是由两个相等大小、异种电荷构成的，相距很近的两个点电荷组成的系统。

设电偶极子的两个电荷分别为 $+q$ 和 $-q$，两电荷之间的距离为 $l$，则电偶极矩为 $$\boldsymbol{p} = q\boldsymbol{l}$$

电偶极矩是一个矢量，其方向由 $-q$ 指向 $+q$。

场强分布

设 $r$ 为点电荷到电偶极子中心的距离，$\theta$ 为 $r$ 与电偶极矩的夹角，则

在电偶极子的延长线上 $$E_+ = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}$$ $$E_- = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}$$ $$E = E_+ - E_- = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2lr}{\left(r^2-\frac{l^2}{4}\right)^2}$$ 即有当 $r \gg l$ 时，有 $$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2p}{r^3}$$
在电偶极子的轴线上 $$E_+ = E_- = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2+\frac{l^2}{4}}$$ 由对称性分析，两个点电荷在轴线上产生的场强大小相等，方向相反，仅留下了 $E$ 的 $-\boldsymbol{l}$ 方向的分量，即 $$E = -E_+ \cos \theta - E_- \cos \theta = -2 E_+ \cos \theta = -2 \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2+\frac{l^2}{4}}\cos \theta$$ 由几何关系可得 $$\cos \theta = \frac{l / 2}{\sqrt{r^2 + \left(l / 2\right)^2}} = \frac{1}{2} \frac{l}{\sqrt{r^2 + \frac{l^2}{4}}}$$ 代入上式可得 $$E = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{ql}{\left(r^2 + \frac{l^2}{4}\right)^{\frac{3}{2}}}$$ 当 $r \gg l$ 时，有 $$E = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{p}{r^3}$$ 其中负号代表电场方向与电偶极矩方向相反。
可以写成矢量式
$$\boldsymbol{E} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\boldsymbol{p}}{r^3}$$
在电偶极子的任意场点处略，见教材 P23。

电偶极子在外电场中所受的力矩

处于匀强电场中的电偶极子，其两个电荷受到的力相等，方向相反，合力为零，但是它们所受的力矩不为零。电偶极子在外电场中所受的力矩为： $$\boldsymbol{M} = \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{E}$$

电偶极子在外电场中的电势能

$$W_{e+} = q \varphi_+, \quad W_{e-} = q \varphi_-$$ $$W_e = W_{e+} - W_{e-} = q(\varphi_+ - \varphi_-)$$ $$\varphi_+ - \varphi_- = \int_{+}^{-} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}$$ 由于$\boldsymbol{E}$是匀强电场 $$\int_{+}^{-} d \boldsymbol{l} = -\boldsymbol{l}$$ $$W_e=q\boldsymbol{E}\int_{+}^{-}d\boldsymbol{l}=-\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E} = -\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E} = -pE\cos\theta$$

静电场中的导体和电介质

静电场中的导体

导体的静电平衡条件

静电平衡的定义

在电场作用下，导体上的电荷发生重新分布现象，称为静电感应现象。

自由电子不再做定向移动，导体两端的正负电荷不再增加，电场分布也不随时间变化，称为静电平衡。

静电平衡的条件

$$\boldsymbol{E_{\text{内}}}=0, \quad \boldsymbol{E_S} \perp \text{导体表面}$$

电势表述形式

在导体内任意两点间的电势差为0，即$\Delta V = 0$。导体表面是等势面，导体是电势相等的等势体。

静电平衡时导体上的电荷分布

静电平衡时，导体上的电荷只能分布在表面上，其内部没有净电荷。
- 采用高斯定理证明：内部电场强度为零故内部无净电荷。

静电平衡时，若导体空腔内无带电体，空腔导体上的电荷只能分布在空腔导体的外表面。
静电平衡时，若导体空腔内有带电体，空腔导体上的电荷只能分布在空腔导体的内外表面上。

在静电平衡时，导体表面外紧邻处的电场强度大小 $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$，方向垂直于导体表面。
- 当导体某处带正电时，该处的电场强度方向垂直表面向外。
- 当导体某处带负电时，该处的电场强度方向垂直表面向内。
- 导体表面外紧邻处某点的电场并非仅仅由该点的电荷决定，而是由导体表面上所有电荷决定的。
- 无限大带电平面的电场强度大小 $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$，是因为其场强均匀分布在两侧，故为原来的一半。

大学物理（第三卷）电磁学_胡海云-高等教育出版社-115 大学物理（第三卷）电磁学_胡海云-高等教育出版社-116 4. 孤立导体处于静电平衡时，导体表面上的电荷面密度 $\sigma_e$ 仅由表面的形状和导体上的电荷总量决定。

静电屏蔽

腔内空间的电场
- 若腔内无带电体，导体内部和腔内空间的电场强度均为零。不论导体是否带电以及外界是否有电场。
- 若腔内有带电体，空腔内的电场仅由腔内带电体决定，与外界电场无关。总之，空腔导体都能使腔内空间的电场强度为零。该现象称为静电屏蔽。
腔外空间的电场
- 若导体不接地，腔内带电体会在外表面感应出等量的电荷，并在腔外产生电场。
- 若导体接地，腔内带电体会在外表面感应出等量的电荷，但外表面的电荷会流入地，故腔外不会产生电场。如果导体外有电场，导体的外表面也会感应出电荷，不会流入大地。但是腔内带电体无法影响腔外。接地能够使腔外电场不受腔内带电体的影响，这种现象称为接地屏蔽。

导体存在时静电场量的计算

主要用到高斯定理和导体内部电场强度为零的性质。

注意点

通常规定大地和无限远处的电势为零，接地的导体的电势无论电场分布如何，都为零。
导体接地并不意味导体表面电荷全部消失。
电场中任意一点的电势都是所有电荷共同贡献的结果。导体接地时，电势为零也是所有电荷共同贡献的结果。

静电场中的电介质

电介质对电场的影响

在平行板间充入电介质的时候，电势差和电场都会变小，并且有如下关系： $$U = \frac{U_0}{\varepsilon_r}, \quad E = \frac{E_0}{\varepsilon_r}$$ 其中，$U_0$ 和 $E_0$ 分别是真空中的电势差和电场强度，$\varepsilon_r$ 是电介质的相对介电常数，除真空中 $\varepsilon_0 = 1$ 之外，$\varepsilon_r$ 都大于1。

电介质的极化

虽然无极分子电介质和极分子电介质的微观机制不同，但在宏观上，都表现为在均匀电介质表面出现束缚电荷。（表面没有自由电荷） 自由电荷是一种等效概念，常指存在于物质内部，再外电场作用下能做定向移动的电荷，如金属导体中的自由电子，电解质中的离子等。 但由于电介质极化产生的束缚电荷不是自由电荷

束缚电荷与自由电荷的共同之处是它们都会产生静电场。

电极化强度

点极化强度定义为单位体积内分子电偶极矩的矢量和，记作 $\boldsymbol{P}$，则有： $$\boldsymbol{P} = \frac{\sum \boldsymbol{p_i}}{\Delta V}$$ 在国际化单位制中，电极化强度的单位是 $\mathrm{C/m^2}$。
它的量纲与电荷面密度相同

对无极分子构成的电介质，由于每个分子的感生电矩 $\boldsymbol{p_i}$ 都相同，故有： $$\boldsymbol{P} = n \boldsymbol{p}$$ 在外电场中，若电介质内各点的电极化强度 $\boldsymbol{P}$ 的大小和方向都相同，则称电介质为均匀电介质，否则称为非均匀电介质。

在外电场 $\boldsymbol{E_0}$ 中极化的电介质表面以及体内出现的束缚电荷 $q’$ 也要产生电场 $\boldsymbol{E}’$.
根据电场叠加原理，电介质内部的电场 $\boldsymbol{E}$ 为外电场 $\boldsymbol{E_0}$ 和极化电场 $\boldsymbol{E}’$ 的矢量和，即： $$\boldsymbol{E} = \boldsymbol{E_0} + \boldsymbol{E}’$$

实验证明，当电介质内电场 $\boldsymbol{E}$ 不大强的时候，各向同性的均匀电介质的电极化强度 $\boldsymbol{P}$ 与电场 $\boldsymbol{E}$ 之间的关系是线性的，即： $$\boldsymbol{P} = \varepsilon_0 \chi_e \boldsymbol{E}$$ 其中，$\chi_e$ 是电介质的电极化率，为无量纲量。其数值上等于 $\varepsilon_r - 1$。

极化强度与极化电荷的关系

极化强度与极化电荷的关系 $$dq’ = \boldsymbol{P} \cdot d\boldsymbol{S}$$ $$\frac{dq’}{dS} = \boldsymbol{P} \cdot \boldsymbol{e_n} = P \cos \theta$$

故在一个闭合曲面内满足： $$\oint_S \boldsymbol{P} \cdot d\boldsymbol{S} = -\sum q’_{内}$$

当面元 $d \boldsymbol{S}$ 在电介质表面的时候，有： $$\sigma_e’ = \boldsymbol{P} \cdot \boldsymbol{e_n} = P \cos \theta = P_n$$

有介质时的高斯定理

有电介质存在时的总场强为： $$\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E_0}+\boldsymbol{E’}$$ 其中，$\boldsymbol{E_0}$ 是外电场，$\boldsymbol{E’}$ 是极化电场。

即电场 $\boldsymbol{E}$ 由束缚电荷的分布决定，而电介质最后的极化情况即点极化强度 $\boldsymbol{P}$ 和束缚电荷的分布又是由电场 $\boldsymbol{E}$ 决定的。

可见三者之间的关系是相互影响的，可以通过引入适当的物理量来简化问题。

电位移和有介质时的高斯定理

有电介质时，高斯定理依然成立，只不过此时 $\boldsymbol{E}$ 通量的计算需要同时考虑自由电荷和束缚电荷的贡献。即：
$$\oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum \left( q_{0内} + q’_{内} \right)$$
根据极化强度与极化电荷的关系可知： $$\oint_S (\varepsilon_0 \boldsymbol{E} + \boldsymbol{P}) \cdot d\boldsymbol{S} = \sum q_{0内}$$
引入一个物理量 $\boldsymbol{D}$，称为电位移矢量，定义为： $$\boldsymbol{D} = \varepsilon_0 \boldsymbol{E} + \boldsymbol{P}$$
称为电位移矢量，其单位是 $\mathrm{C/m^2}$。
则上式可改写成：
$$\oint_S \boldsymbol{D} \cdot d\boldsymbol{S} = \sum q_{0内}$$

此式证明：通过任意闭合曲面的电位移通量（或称为 $\boldsymbol{D}$ 通量）等于该闭合曲面内的自由电荷之和。称为有介质时的高斯定理，或称为 $\boldsymbol{D}$ 的高斯定理。

介电常数

对于各向同性电介质，有： $$\boldsymbol{D} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \boldsymbol{E} = \varepsilon \boldsymbol{E}$$ 式中比例系数 $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$ 称为电介质的介电常数

应用

根据自由电荷的分布求出电位移 $\boldsymbol{D}$ 的分布
根据电位移 $\boldsymbol{D}$ 的分布求出电场强度 $\boldsymbol{E}$
根据 $\boldsymbol{E}$ 求出 $\boldsymbol{P}$
根据 $\boldsymbol{P}$ 求出束缚电荷面密度 $\sigma_e'$
根据 $\sigma_e’$ 求出束缚电荷总量 $q'$

静电场的边界条件

电场强度切向分量的连续性

再两种电介质的分界面上，用 $E_{1t}$ 和 $E_{2t}$ 分别表示分界面电场强度切向分量大小，由环路定理知：

$$\oint_L \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = E_{1t} \Delta l + E_{2t} \Delta l = 0$$
即： $$E_{1t} = E_{2t}$$

可见，电场强度的切向分量在两种电介质的分界面上是连续的。

电位移法向分量的连续性

在两种电介质的分界面上，用 $D_{1n}$ 和 $D_{2n}$ 分别表示分界面电位移法向分量大小，由高斯定理知：

$$\oint_S \boldsymbol{D} \cdot d\boldsymbol{S} = D_{1n} \Delta S + D_{2n} \Delta S = 0$$ 即： $$D_{1n} = D_{2n}$$

可见，电位移的法向分量在两种电介质的分界面上是连续的。

以上推出的两个结论称为静电场的边界条件。

$\boldsymbol{D}$ 线的折射定律

$$\frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2} = \frac{\varepsilon_{r1}}{\varepsilon_{r2}}$$

电容与电容器

孤立导体的电容

当孤立导体所带的电荷量 $Q$ 增大时，根据叠加原理，导体的电势 $\varphi$ 也按一定的比例增大。

我们知道电荷量 $Q$ 与导体的电势 $\varphi$ 之间的比值仅与导体的几何形状有关，而与导体的电势无关。这个比值称为导体的电容，用 $C$ 表示，即： $$C = \frac{Q}{\varphi}$$

它的物理意义是：导体上的电势每增加单位电势所需的电荷量。
它的单位是法拉（F）。 $$1 \mathrm{F} = 1 \mathrm{C/V}$$ 实际应用中，由于电容量很大，常用微法（$\mu \mathrm{F}$）和皮法（$\mathrm{pF}$）作为单位。

电容器的电容

若一个带电导体近旁有其他导体或带电体的时候，刺刀提的电势讲不仅与和他自己所带的电荷 $Q$ 有关，还与周围其他物体的电荷分布有关。

想要消除其他物体的影响，我们可以采用静电屏蔽的方法。

导体与外壳的电势差 $U$ 只取决于导体自身的电荷量 $Q$ 的大小、导体壳的内表面与导体的几何形状有关。则设电容为 $C$，电势差为 $U$，则有： $$C = \frac{Q}{U}$$

我们称这种由导体壳和其腔内以电介质或真空隔开的导体所组成的装置为电容器。

电容器的性质

电容器的电容 $C$ 与电容器的几何形状有关，与电容器的电势差 $U$ 无关。
电容器带电时，两个极板面分别带有等量异号电荷 $+Q$ 和 $-Q$，
电容器的电势差 $U$ 也称为电压，电容器所带的电荷量与电压成正比，比值为电容 $C$。

平行板电容器

实际中对电容器屏蔽性的要求并不像理想电容器那样严格，因此我们可以用平行板电容器来近似描述电容器的性质。

理想的平行板电容器由两块平行的大导体板组成

若导体板不能视作无限大，则在电容器边缘存在边缘效应，即电场线不再垂直于导体板，而是向外凸出。
一般电学问题中，我们可以忽略边缘效应。

平行板电容器的电容

当两块平行板之间充满真空时，电容为： $$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$$
当两块平行板之间充满电介质时，电容为： $$C = \frac{\varepsilon S}{d}$$
在其中一块平行板旁边放置一个宽度为 $l$，介电常数为 $\varepsilon$ 的导体板，使其与另一块平行板之间的距离为 $d$，则电容为： $$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d} + \frac{\varepsilon S}{l}$$

电容器的连接

串联

串联电容器的电容等效为： $$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \cdots + \frac{1}{C_n}$$

并联

并联电容器的电容等效为： $$C = C_1 + C_2 + \cdots + C_n$$

静电场的能量

电荷系的静电能

$$W_e = \frac{1}{2} \sum q_i \varphi_i$$ 或者 $$W_e = \frac{1}{2} \int_q \varphi dq$$

电容器的能量

$$W_e = \frac{1}{2} CU^2 = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$$

平行板电容器

代入 $C = \frac{\varepsilon S}{d}$ 可得 $$W_e = \frac{1}{2} \frac{\varepsilon S}{d} (Ed)^2 = \frac{1}{2} \varepsilon E^2 S d$$

静电场的能量与能量密度

根据平行板电容器的能量公式，我们知道平行板电容器的能量和电场强度有关。
更普遍的说，电能的携带者是电场。

单位体积中的电场能量密称为电场能量密度，记作 $w_e$，即 $$w_e = \frac{dW_e}{dV}$$

由于平行板电容器的电场是均匀的，所以电场能量密度是均匀的，即 $$w_e = \frac{W_e}{V} = \frac{1}{2} \varepsilon E^2 = \frac{1}{2} D E$$ 该式虽然是从平行板电容器的能量公式推导出来的，但是对各向同性的电介质都是普遍成立的。 在各向异性的电介质中，$\boldsymbol{D}$ 和 $\boldsymbol{E}$ 的方向不一定相同，但是它们之间的关系仍然是 $$w_e = \frac{1}{2} \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E}$$

对于任意电场，空间 $V$ 内的总电场能量 $W_e$ 可以体由积分求得，即 $$W_e = \int_V w_e dV = \frac{1}{2} \int_V \frac{1}{2} \varepsilon E^2 dV$$
该积分遍及整个空间，适用于任何各向同性的电介质。

恒定磁场

恒定电流

电流

电流是由大量带电粒子定向运动形成的，这些形成电流的粒子可以是自由电子、离子、空穴等，被统称为 载流子 。

描述电流的物理量是电流强度，用符号$I$表示，它等同于单位时间内通过导体横截面的电荷量，即 $$I = \frac{dq}{dt}$$
电流的单位是安培（A）。 $$1A = 1C/s$$
安培是国际单位制的基本单位之一，而电荷量的单位库仑则是导出单位。

电流是标量，但是为了分析问题方便，习惯将正电荷流动的方向定义为电流的方向。

当通过导体任一截面的电流 $I$ 不随时间变化时，称为 恒定电流 。

电流密度

实际上大块导体内部的电流并不是均匀分布的，为了更细致地描述电流的分布情况，引入了 电流密度 的概念。

$$I = \frac{\delta Q}{\delta t} = neSv_D$$
$$J = \frac{I}{S} = nev_D$$
一般的，电流密度为矢量，方向与电流方向一致，大小为单位横截面积上的电流量。故
$$\boldsymbol{J} = nq\boldsymbol{v}_D$$

$$I = \oint_S \boldsymbol{J} \cdot d\boldsymbol{S} = -\frac{dq_{\text{内}}}{dt}$$ 这一关系式被称为 电流的连续性方程 。当 $$\oint_S \boldsymbol{J} \cdot d\boldsymbol{S} = 0$$ 时，称为 稳恒电流 。

欧姆定律的微分形式

欧姆定律

$$I = \frac{U}{R}$$

电阻率和电导率

$\rho$ 称为 电阻率 ，$\sigma = \frac{1}{\rho}$ 称为 电导率。
粗细均匀的导体中，电阻率 $\rho$ 为常数，导体的长度为 $l$ ，横截面积为 $S$ ，则

$$R = \rho \frac{l}{S}$$

欧姆定律的微分形式

取一段长为 $dl$，横截面积为 $dS$ 的圆柱形体积元，流过截面 $dS$ 的电流为 $$dI = \frac{dU}{R}$$
当体积元足够短时，可以忽略场强沿圆柱长度方向的变化，所以有 $dU = Edl$，又由 $dI = JdS$，$R = \rho \frac{dl}{dS}$，所以 $$JdS = \frac{1}{\rho} \frac{dS}{dl} Edl = \frac{E}{\rho} dS$$ 因此 $$J = \sigma E$$ 由于 $\boldsymbol{J}$ 和 $\boldsymbol{E}$ 的方向相同，可以写成矢量形式 $$\boldsymbol{J} = \sigma \boldsymbol{E}$$

电源和电动势

用受到的非静电力与电荷量的比值来定义非静电场场强，用 $E_k$ 表示，即 $$E_k = \frac{F}{q}$$

非静电力把单位正电荷经电源内部从负极移动到正极的功称为电源的电动势，用符号 $\mathcal{E}$ 表示，即 $$\mathcal{E} = \int_{-}^{+} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}$$

当非静电力存在于整个回路时，整个回路的总电动势为 $$\mathcal{E} = \oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}$$

电动势是标量，但为了便于判断在电流流通时，非静电力是做正功还是负功，常把电源内部电势升高的方向定义为电动势的方向。

磁场和磁感应强度

磁的基本现象

磁极

磁铁中有两块磁性最强的区域，称为磁极。磁极分为南极和北极。

磁单极子

磁单极子是一种假想的磁体，只有一个磁极。实际上，迄今为止还没有发现磁单极子。

磁偏角

地球的磁场是地球内部的磁性物质产生的，地球的磁极与地球的自转轴不重合，地球的磁极与地理极之间的夹角称为 磁偏角。

安培分子电流假说

分子电流相当于一个基元磁体，当物质中的分子电流规则排列时，物质就具有磁性。

一段段的小电流接续形成一个大的环形电流，从一端看是 $N$ 极，从另一端看是 $S$ 极。
这个假说也能说明不存在磁单极子。因为一个磁极对应一面，存在一面就必然存在另一面。

现代理论表明，分子内电子的运动形成了分子电流，从而产生了物质的磁性。所有的磁现象都可以归结为运动电荷之间的相互作用，磁力是运动电荷相互作用的表现。

磁场与磁感应强度

与静止电流之间的相互作用通过电场来传递一样，运动电荷之间的作用是通过磁场来传递的。

可以表示为： $$\text{运动电荷} \rightleftharpoons \text{磁场} \rightleftharpoons \text{运动电荷}$$

为了定量描述磁场的分布，引入了磁感应强度的概念，用符号 $\boldsymbol{B}$ 表示。

任一电荷收到的作用力是由电场力和磁场力共同决定的，即 $$\boldsymbol{F} = \boldsymbol{F}_e + \boldsymbol{F}_m$$ 其中 $\boldsymbol{F}_e$ 是电场力，与电荷的运动速度无关；$\boldsymbol{F}_m$ 是磁场力，与电荷的运动速度有关。$\boldsymbol{v}$ 的大小和方向不同，$\boldsymbol{F}_m$ 的大小和方向也不同。

$$\boldsymbol{F}_m = q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$$

上式表示的磁力也被称为洛伦兹力 大小为 $$F_m = qvB\sin\theta$$

可以根据右手螺旋定则来判断磁场力的方向。
同时也可以用该式来确定磁感应强度的方向。

毕奥-萨伐尔定律

真空中电流元产生的磁感应强度为：

$$d\boldsymbol{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{e_r}}{r^2}$$

其中， $\mu_0$ 为 真空磁导率，其值为 $4\pi \times 10^{-7} , \text{T} \cdot \text{m} / \text{A}$。

则 $d\boldsymbol{B}$ 的大小为 $$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Idl \sin \theta}{r^2}$$ 其中， $\theta$ 为 $d\boldsymbol{l}$ 与 $\boldsymbol{e_r}$ 的夹角。

因此电流元产生的磁场与电流元的大小成正比，与距离的平方成反比。
和库仑定律一样满足反比平方定律。方向由右手螺旋定则确定。

毕奥-萨伐尔定律的应用

直导线

在真空中有一段长为 $L$ 的直导线，电流为 $I$。场点 $P$ 到直导线的垂直距离为 $a$，两端与电流方向的夹角分别为 $\theta_1$ 和 $\theta_2$。 $$B = \int dB = \frac{\mu_0}{4\pi} I \int \frac{dl \sin \theta}{r^2}$$ 其中 $r$ = $\frac{a}{\sin \theta}$，$l = -a \cot \theta$，则 $dl = \frac{a}{\sin^2 \theta} d\theta$。将 $l$ 和 $dl$ 代入上式，得 $$\begin{aligned}s B &= \frac{\mu_0}{4\pi} I \int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{ \sin \theta}{a^2 / \sin^2 \theta} \frac{a}{\sin^2 \theta} d\theta \newline &= \frac{\mu_0}{4\pi a} I \int_{\theta_1}^{\theta_2} d\theta = \frac{\mu_0}{4\pi a} I \left(\cos \theta_1 - \cos \theta_2\right)\end{aligned}$$

无限长直导线
- $\theta_1 = 0$
- $\theta_2 = \pi$
- $B = \frac{\mu_0}{2\pi a} I$
半无限长直导线
- $\theta_1 = \frac{\pi}{2}$
- $\theta_2 = \pi$
- $B = \frac{\mu_0}{4\pi a} I$
导线延长线上的磁场
- $\theta_1 = \theta_2 = \pi$
- $B = 0$

载流圆线圈轴线上的磁场

在真空中有一半径为 $R$，载流量为 $I$ 的圆线圈，场点 $P$ 在圆线圈轴线上，到圆线圈中心的距离为 $x$。

$$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Idl}{r^2}$$ 有 $$dB_{\parallel} = dB \sin \theta$$ $$dB_{\perp} = dB \cos \theta$$ 由于对称性，$dB_{\perp}$ 的积分为零，只需计算 $dB_{\parallel}$ 的积分。 $$B = \int dB_{\parallel} = \frac{\mu_0}{4\pi} I \int \frac{dl \sin \theta}{r^2}$$ 式中 $\sin \theta = \frac{R}{r}$

$$B = \frac{\mu_0 IR}{4\pi r^3} \int_0^{2\pi R} dl = \frac{\mu_0 IR^2}{2 r^3}$$ 由于 $r^2 = R^2 + x^2$，则 $$B = \frac{\mu_0 IR^2}{2 (R^2 + x^2)^{3/2}}$$ 方向满足右手螺旋定则关系。

若 $x = 0$，即场点在圆线圈中心，则 $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$
若载流导线为一段圆弧，则在其圆心处产生的磁场 $B = \frac{\mu_0 I}{2R} \frac{\theta}{2\pi}$
若 $x \gg R$，则 $B = \frac{\mu_0 IR^2}{2x^3}$

磁偶极子

定义圆电流的磁矩为 $$\boldsymbol{m} = I \boldsymbol{S}$$ 单位为 $\text{A} \cdot \text{m}^2$。

由于 $S = \pi R^2$，结合载流圆线圈轴线上的磁场公式，得
$$\boldsymbol{B} = \frac{\mu_0 \boldsymbol{m}}{2\pi x^3}$$ 该式与静电场中的电偶极子的电场强度表达式相似，而且磁感应线分布也与电偶极子的电场线分布相似，因此我们将圆电流称为磁偶极子。

载流直螺线管轴线上的磁场

可以视作无限多个载流圆线圈的叠加设 $P$ 为轴线上一点，到螺线管一端的距离为 $x$，螺线管的半径为 $R$，载流量为 $I$，单位长度上有 $n$ 匝

$$dB = \frac{\mu_0}{2} \frac{R^2 dI}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0}{2} \frac{R^2 n I dx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$$ $$B = \int dB = \int \frac{\mu_0}{2} \frac{R^2 n I dx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$$

到螺线管某个微分点的距离为 $r$，夹角为 $\theta$
根据几何关系知： $$r^2 = R^2 + x^2, \quad r \sin \theta = R, \quad x = \frac{R}{\tan \theta}, dx = \frac{R d\theta}{\sin^2 \theta}$$

代入上式，得 $$dB = \frac{\mu_0}{2} \frac{R^2 n I}{(R / \sin \theta)^3} \frac{R d\theta}{\sin^2 \theta} = \frac{\mu_0}{2} n I \sin \theta d\theta$$

故得 $P$ 点的磁场为
$$B = \frac{\mu_0}{2} n I \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin \theta d\theta = \frac{\mu_0}{2} n I (\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$$

当 $L \gg R$ 时，螺线管近似为无限长，即 $\theta_1 = \pi$，$\theta_2 = 0$，则 $B = \mu_0 n I$
若 $P$ 点在任意一端的中心口处，且 $L \gg R$，则有 $\theta_1 = \pi / 2$， $\theta_2 = 0$ 或 $\theta_1 = \pi$， $\theta_2 = \pi / 2$，则 $B = \frac{\mu_0}{2} n I$

可见半无限长螺线管的磁场强度是无限长螺线管磁场强度的一半。

磁场的高斯定理和安培环路定理

磁通量和磁场的高斯定理

磁通量

类比于静电场中引入的电通量，定义磁场中的磁通量为 $$\varPhi = \int \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S}$$ 在国际单位制中，磁通量的单位是韦伯，符号是 $\text{Wb}$。 $$1\text{Wb} = 1\text{T} \cdot \text{m}^2$$

磁场的高斯定理

由于磁场线是无头无尾的闭合曲线，从封闭曲面 $S$ 中穿出的磁场线必然会再次进入封闭曲面 $S$，因此磁场的高斯定理为

$$\oint \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S} = 0$$

安培环路定理

在静电场中，电场强度的环流等于零，即 $$\oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = 0$$

从毕奥-萨伐尔定律可以得到安培环路定理安培环路定理的表述为：在恒定电流的磁场中，磁感应强度 $\boldsymbol{B}$ 沿任意闭合曲线 $L$ 的线积分（即环流）等于通过该闭合曲线内的电流代数和的 $\mu_0$ 倍。
即 $$\oint_L \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l} = \mu_0 \sum I_{\text{内}}$$ 式中，$\sum I_{\text{内}}$ 是通过环路 $L$ 内的电流代数和。
电流的正负号由电流的方向决定，若电流与环路的方向一致，则电流为正，否则为负。

安培环路定理的推导

若闭合曲线内包含有电流取线元 $d\boldsymbol{l}$，在 $O$ 点处的距离为 $r$ ，张角为 $d\varphi$ ，与 $d\boldsymbol{l}$ 的夹角为 $\theta$。则有

$$rd\varphi = d\boldsymbol{l} \cdot \boldsymbol{r} = rdl\cos\theta$$ $$\oint_L \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l} = \oint_L Bdl\cos\theta =\oint_L Brd\varphi = \int_{0}^{2\pi} \frac{\mu_0 I}{2\pi r} rd\varphi = \mu_0 I$$

不包含电流时可以证明积分区域是两段角度互补的区域，所以积分为零。

磁场对载流导线的作用

安培力

$$\boldsymbol{F} = \int I\boldsymbol{B} \times d\boldsymbol{l}$$

磁场对载流线圈的作用

磁矩 $\boldsymbol{m}$ 为 $$\boldsymbol{m} = N I \boldsymbol{S}$$

磁力矩的效果是让载流线圈磁矩的方向与磁场方向一致。

$$\boldsymbol{M} = \boldsymbol{m} \times \boldsymbol{B}$$

磁场对运动电荷的作用

洛伦兹力

导线中的电流在磁场中受到的安培力为其中运动电荷所受洛伦兹力的宏观表现。

$$\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$$

洛伦兹力垂直于粒子的速度 $\boldsymbol{v}$ ，故它只改变速度方向，不改变速度大小，即不做功。

带电粒子在磁场中的运动

$\boldsymbol{v} \parallel \boldsymbol{B}$ 时，粒子做匀速直线运动。
$\boldsymbol{v} \perp \boldsymbol{B}$ 时，粒子做匀速圆周运动。
- 回旋半径 $$R = \frac{mv}{qB}$$
- 回旋周期 $$T = \frac{2\pi m}{qB}$$
- 回旋频率 $$f = \frac{qB}{2\pi m}$$
$\boldsymbol{v}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 的夹角为 $\theta$ 时，粒子做螺旋线运动。可将 $\boldsymbol{v}$ 分解为 $\boldsymbol{v_{\parallel}}$ 和 $\boldsymbol{v_{\perp}}$ 两部分
- $\boldsymbol{v_{\parallel}}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 平行，不受磁场力作用，做匀速直线运动。
- $\boldsymbol{v_{\perp}}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 垂直，受到磁场力作用，做匀速圆周运动。
- 回旋半径 $$R = \frac{mv_{\perp}}{qB} = \frac{mv\sin\theta}{qB}$$
- 螺距在一个周期内，粒子在磁场中沿轴线方向移动的距离。 $$L = v_{\parallel}T = v_{\parallel} \frac{2\pi m}{qB} = \frac{2\pi m v\cos\theta}{qB}$$
- 磁聚焦 当 $\theta$ 很小的时候， $v_{\parallel} \approx v$ ，一批带电粒子的速度分散在一定范围内，但是在磁场中运动后，速度分散减小，使得粒子聚焦在一点上。

应用实例

速度选择器

速度选择器是利用带电粒子在电场和磁场中的受力情况，使得只有特定速度的粒子通过的装置。在速度选择器中，电场和磁场的方向垂直，电场的方向与磁场的方向相同，使得带电粒子在电场中受到的电场力和磁场力相互抵消，从而只有特定速度的粒子通过。 $$qE = qvB$$ $$v = \frac{E}{B}$$

汤姆孙实验

$$evB = \frac{mv^2}{r}$$ $$eE = evB$$ $$\frac{e}{m} = \frac{v}{rB} = \frac{E}{B^2r}$$

质谱仪

$$qvB’ = m\frac{v^2}{r}$$ $$m = \frac{qB’r}{v} = \frac{qBB’r}{E}$$

回旋加速器

$$\frac{T}{2} = \frac{\pi m}{qB}$$ $$v = \frac{qBR}{m}$$

霍尔效应

$$U_H = E_Hh = v_DBh$$ $$I = nqv_Dbh$$ $$U_H = \frac{IB}{nqb}$$ 其中 $U_H$ 为霍尔电压， $K_H = \frac{1}{nq}$ 为霍尔系数，只与材料有关。

磁场中的磁介质

磁介质对磁场的影响

类比电介质对电场的影响，有介质时的磁场可以被表示为
$$\boldsymbol{B} = \boldsymbol{B_0} + \boldsymbol{B}’$$

其中，$\boldsymbol{B}$ 是介质中的磁感应强度，$\boldsymbol{B_0}$ 原磁场，$\boldsymbol{B}’$ 是介质产生的磁场。

根据实验表明，磁介质内的磁感应强度 $\boldsymbol{B}$ 为真空时的 $\mu_r$ 倍，即 $$\boldsymbol{B} = \mu_r \boldsymbol{B_0}$$ 式中，$\mu_r$ 是磁介质的相对磁导率，为无量纲量。

磁介质的种类

顺磁质

$$\mu_r > 1$$

抗磁质

$$\mu_r < 1$$

铁磁质

顺磁质和抗磁质的混合体的 $\mu_r$ 接近于1，而铁磁质的 $\mu_r$ 远大于1。
$\boldsymbol{B}$ 和 $\boldsymbol{B}’$ 方向相同，内部磁场被大大增强。

磁介质的磁化

磁介质内由大量杂乱的 分子磁矩 组成，可以用等效的圆电流即 分子电流 来描述有外磁场时，磁介质的状态就会发生变化，这种现象称为磁化。

顺磁质在外磁场的作用下，分子磁矩的方向与外磁场方向一致，磁介质内部的磁场增强。
抗磁质在外磁场的作用下，在原有的磁矩方向上产生一个与外磁场方向相反的磁矩，磁介质内部的磁场减弱。

这些方向相同的附加磁矩的矢量和就是一个分子在外磁场中产生的 感生磁矩。

磁化强度

$$\boldsymbol{M} = \frac{\sum \boldsymbol{m}}{V}$$

磁化电流

$$I’ = \oint_L \boldsymbol{M} \cdot d\boldsymbol{l}$$

有磁介质时的安培环路定理

类似于有介质时的高斯定理，通过引入适当的物理量可以简化问题。

$$\oint_L \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l} = \mu_0 (\sum I_{\text{0内}} + I’_{\text{内}})$$
移项得到
$$\oint_L \left(\frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0} - \boldsymbol{M}\right) \cdot d\boldsymbol{l} = \sum I_{\text{0内}}$$

引入磁场强度 $\boldsymbol{H}$，定义为 $$\boldsymbol{H} = \frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0} - \boldsymbol{M}$$

故安培环路定理可以简化为
$$\oint_L \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = \sum I_{\text{0内}}$$

磁化强度与磁场强度的关系

$$\boldsymbol{M} = \chi_m \boldsymbol{H}$$
式中，$\chi_m$ 为磁化率，是无量纲量。

代入 $$\boldsymbol{H} = \frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0} - \boldsymbol{M}$$ 得到 $$\boldsymbol{B} = \mu_0 (\boldsymbol{H} + \boldsymbol{M}) = \mu_0 (1 + \chi_m) \boldsymbol{H} = \mu_0 \mu_r \boldsymbol{H} = \mu \boldsymbol{H}$$
即 $$\boldsymbol{B} = \mu \boldsymbol{H}$$

$\mu_r = 1 + \chi_m$ 为磁介质的相对磁导率，$\mu = \mu_0 \mu_r$ 为磁介质的磁导率。

电磁感应和电磁场

法拉第电磁感应定律

$$\mathcal{E} = -\frac{d\varPhi}{dt}$$ 以上公式称为 法拉第电磁感应定律 ，其中 $\mathcal{E}$ 为感应电动势，$\varPhi$ 为磁通量。

$$\varPsi = \sum_{i=1}^N \varPhi_i = \sum_{i=1}^N \int \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S}$$

若每一匝线圈的磁通量 $\varPhi_i$ 都相等，则有
$$\varPsi = N\varPhi$$

$\varPsi$ 称为磁链

感应电动势和电流的方向满足右手螺旋定则。

楞次定律

通量表达

闭合回路中的感应电流的方向，总是使它所激发的磁场穿过回路自身的磁通量阻碍原磁通量的变化。

力表达

运动导体上的感应电流的安培力总是阻碍导体的运动。

动生电动势和感生电动势

动生电动势

定义

在电磁感应中，单纯由导体在磁场中运动产生的电动势称为 动生电动势。

计算方法

在导体棒 $ab$ 中产生的动生电动势应等于将单位正电荷从从导体棒的负极 $b$ 移动到正极 $a$ 时所做的功 $$\boldsymbol{E}_k = \frac{\boldsymbol{F}}{q} = \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$$
$$d\mathcal{E} = \boldsymbol{E}_k \cdot d\boldsymbol{l} = \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l}$$
$$\mathcal{E} = \int \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l} = Blv\sin\theta$$

若计算出的电动势为正，则电流方向与选取的方向一致；
若计算出的电动势为负，则电流方向与选取的方向相反。

能量起源

产生动生电动势的非静电起源是洛伦兹力而洛伦兹力是不做功的，但感应电动势可以输出电功，是否矛盾？洛伦兹力的功率是 $$\begin{aligned}P_L = \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{v} &= \left(\boldsymbol{F}_L + \boldsymbol{F}_L’ \right) \cdot \left(\boldsymbol{v} + \boldsymbol{v}’ \right) \newline &= e\boldsymbol{v}B\boldsymbol{v}’ - e\boldsymbol{v}‘B\boldsymbol{v} = 0\end{aligned}$$ 洛伦兹力的功率为零

所有电子宏观的运动导致了安培力的做功
由于安培力会阻碍导体棒的运动，要以恒定速度 $v$ 将导体棒移动，需要外力做功

$$P_{ext} = \boldsymbol{F}_{ext} \cdot \boldsymbol{v} = \boldsymbol{B} I \times \boldsymbol{L} \cdot \boldsymbol{v} = \mathcal{E} I$$

电动势的功率等于外力做功的功率，电能来源是外力克服安培力做功

感生电动势

定义

导体回路静止不动，导体回路中的磁通量随时间变化而产生的电动势称为 感生电动势。

计算方法

$$\mathcal{E} = -\frac{d\varPhi}{dt} = \int_S \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S}$$

能量起源

麦克斯韦猜想，变化的磁场会产生电场，感生电动势的能量来源是磁场的变化

$$\mathcal{E} = \oint_L \boldsymbol{E}_k \cdot d\boldsymbol{l} = -\frac{d\varPhi}{dt}$$

法拉第电磁感应定律的另一种表述

$$\mathcal{E} = \oint_L \left(\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} + \boldsymbol{E}_k \right) \cdot d\boldsymbol{l} = -\frac{d\varPhi}{dt}$$

感生电场

$$\oint_L \boldsymbol{E}_k \cdot d\boldsymbol{l} = -\int_S \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S}$$ 可以看出，感生电场的环流可以不为零。可以证明，感生电场线是无头无尾的闭合曲线。因此有 $$\oint_S \boldsymbol{E}_k \cdot d\boldsymbol{S} = 0$$ 此式称为感生电场的高斯定理。

总电场

	静电场 $E_{\text{静}}$	感生电场 $E_k$
场源	静止的电荷	变化的磁场
电场线	起始于正电荷，终止于负电荷	无头无尾的变化曲线
环路定理	$$\oint_L \boldsymbol{E}_{\text{静}} \cdot d\boldsymbol{l} = 0$$	$$\oint_L \boldsymbol{E}_k \cdot d\boldsymbol{l} = -\int_S \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S}$$
高斯定理	$$\oint_S \boldsymbol{E}_{\text{静}} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{Q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}$$	$$\oint_S \boldsymbol{E}_k \cdot d\boldsymbol{S} = 0$$
电场性质	保守场，无旋	非保守场，有旋

可以根据上面的性质推出总电场的环路定理和高斯定理。
即 $$\oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{Q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}$$ $$\oint_L \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = -\frac{d\varPhi}{dt}$$

以上两式就是麦克斯韦方程组中关于电场的两个基本方程。

感生电场的方向

感生电场的方向就是感生电动势和感生电流的方向。
负号代表的含义就是反抗磁场的变化。
满足左手螺旋定则。

涡电流及电磁阻尼

当大块金属处在变化的磁场中或在磁场中运动时，在其内部会出现涡旋形状的感生电流，称为涡电流。

涡电流的热效应

涡流会产生大量的热，广泛用于电磁炉。

为了避免涡电流的热效应，常常采取多个硅钢片叠加的方法，使涡流被限制在单个绝缘的硅钢片中，从而减小涡电流的热效应。

涡电流的机械效应

常用于电磁阻尼器，如电磁制动器。

也可以用于电磁驱动，当磁场在运动的时候，导体会跟随磁场运动，交流感应电动机就是利用这个原理。

涡电流的电磁效应

金属探测器就是利用涡电流的电磁效应来探测金属的。
涡流也会产生磁场，这个磁场会反过来影响外部磁场，从而影响感应电动势，达到探测金属的目的。

自感与互感

自感

定义

当线圈中有电流 $I$ 通过时，电流 $I$ 所产生的磁场 $B$ 在线圈自身回路中也会产生磁通量 $\varPsi$，当电流 $I$ 随时间变化时，根据法拉第电磁感应定律，线圈在自身回路中会产生感应电动势 $\mathcal{E}$。

激发感应电动势的现象称为自感，相应的感应电动势称为 自感电动势。

自感系数

根据毕奥-萨伐尔定律知，电流在空间中产生的磁场 $B$ 与电流 $I$ 成正比，故其产生的全磁通 $\varPsi$ 与电流 $I$ 成正比，即 $$\varPsi = L I$$ 其中 $L$ 为线圈的自感系数，单位为亨利（H）。 $$1 \mathrm{H} = 1 \mathrm{Wb/A} = 1 \mathrm{V \cdot s/A}$$

自感系数只与线圈本身的几何形状和材料有关，与电流的大小和方向无关。

$$B = \mu \frac{N}{l} I$$ $$\varPsi = \int B \cdot dS = \mu \frac{N}{l} I S$$ $$L = \frac{\varPsi}{I} = \mu \frac{N^2}{l} S = \mu n^2 V$$

自感电动势

当电流发生变化时，线圈中产生的感应电动势 $\mathcal{E}_L$ 为 $$\mathcal{E}_L = -L \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}$$ 负号代表自感电动势的方向总是阻碍电流的变化。

互感

当两个彼此靠近的线圈，当其中一个线圈中有电流 $I_1$ 通过时，会在另一个线圈中产生感应电动势 $\mathcal{E}_2$ 的现象称为互感，相应的感应电动势称为 互感电动势。

互感系数

$$\varPsi_{21} = M_{21} I_1$$ $$\varPsi_{12} = M_{12} I_2$$

可以证明 $$M_{21} = M_{12} = M$$ 其中 $M$ 为两个线圈的互感系数，单位为亨利（H）。

互感电动势

当电流发生变化时，线圈中产生的感应电动势 $\mathcal{E}_M$ 为 $$\mathcal{E}_{21} = -\frac{d\varPsi_{21}}{dt} = -M \frac{dI_1}{dt}$$ $$\mathcal{E}_{12} = -\frac{d\varPsi_{12}}{dt} = -M \frac{dI_2}{dt}$$

磁场的能量和能量密度

自感感能

与电容器类似，线圈中也可以储存能量。当自感系数为 $L$ 的线圈中通过电流 $I$ 时，线圈中的磁场能量为 $$W = \frac{1}{2} L I^2$$

载流线圈中储存的能量称为 自感感能。

磁场的能量密度

在通电螺线管中 $$W_m = \frac{1}{2} L I^2 = \frac{1}{2} \mu n^2 I^2 V = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu} V$$ 故磁场的能量密度为 $$w_m = \frac{W_m}{V} = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu}$$ 考虑到磁感应强度 $B$ 和磁场强度 $H$ 的关系 $$B = \mu H$$ 可得 $$w_m = \frac{1}{2} B H = \frac{1}{2} \mu H^2 = \frac{1}{2} \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{H}$$

虽然这条公式是从通电螺线管的能量公式推导出来的，但是可以证明，他对任何磁场都是普遍成立的。

磁场能量和电场能量的对比

	存储在电容或电感中的能量	存储在电场或磁场中的能量
电场能量	$$W_e = \frac{1}{2} CU^2$$	$$w_e = \frac{1}{2} \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E}$$ $$W_e = \int_V w_e dV$$
磁场能量	$$W_m = \frac{1}{2} L I^2$$	$$w_m = \frac{1}{2} \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{H}$$ $$W_m = \int_V w_m dV$$

若空间中既有电场又有磁场，则总能量密度为 $$w = w_e + w_m = \frac{1}{2} \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E} + \frac{1}{2} \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{H}$$

麦克斯韦方程组与电磁波

位移电流

在安培环路定理中有以下公式 $$\oint_L \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = \sum I_{\text{0内}}$$ 其中 $\sum I_{\text{0内}}$ 是通过环路 $L$ 内的电流之和，可以通过电流密度 $\boldsymbol{J_c}$ 来表示即 $$\oint_L \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = \int_S \boldsymbol{J_c} \cdot d\boldsymbol{S}$$ 这一安培环路定理只适用于稳定电流当非稳定电流通过导体时，导体内部会产生位移电流，即由于电场的变化而产生的电流
使用高斯定理可以得到
$$\boldsymbol{J_d} = \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}$$ $$I_d = \int_S \boldsymbol{J_d} \cdot d\boldsymbol{S} = \int_S \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{d\Phi_d}{dt}$$ 其中 $\Phi_d$ 电位移通量， $\boldsymbol{D}$ 电位移矢量称 $\boldsymbol{J_d}$ 为位移电流密度， $I_d$ 为位移电流

$$\oint_{S_1} \boldsymbol{J_c} \cdot d\boldsymbol{S} + \oint_{S_2} \boldsymbol{J_d} \cdot d\boldsymbol{S} = 0$$ 即，流入曲面 $S_1$ 的传导电流等于流出曲面 $S_2$ 的位移电流

安培环路定理的普遍表达式

$$\oint_L \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = I_c + I_d = \int_S \left(\boldsymbol{J_c} + \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol{S}$$

上式是安培环路定理的普遍表达式，表明磁场强度 $\boldsymbol{H}$ 沿任意闭合回路的环流等于穿过以回路为边界的任意曲面的传导电流和位移电流之和

就磁效应而言，位移电流和传导电流是等效的，都是磁场的源但是二者本质上是不同的，传导电流是由导体中电荷的移动产生的，而位移电流是由电场的变化产生的，无论是否有导体存在，只要电场的变化，就会产生位移电流

麦克斯韦方程组

$$\begin{aligned} \oint_S \boldsymbol{D} \cdot d\boldsymbol{S} &= \int_V \rho dV = q_0 \newline \oint_L \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} &= -\int_S \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S} \newline \oint_S \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S} &= 0 \newline \oint_L \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} &= I_c + \int_S \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \nabla \cdot \boldsymbol{D} &= \rho \newline \nabla \times \boldsymbol{E} &= -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \newline \nabla \cdot \boldsymbol{B} &= 0 \newline \nabla \times \boldsymbol{H} &= \boldsymbol{J} + \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \newline \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \boldsymbol{D} &= \varepsilon \boldsymbol{E} \newline \boldsymbol{B} &= \mu \boldsymbol{H} \newline \boldsymbol{J} &= \sigma \boldsymbol{E} \end{aligned}$$

$$\boldsymbol{F}_L = q(\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})$$