磁通量和磁场的高斯定理

磁通量

类比于 静电场中引入的电通量 ，定义磁场中的磁通量为 $$\varPhi = \int \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S}$$ 在国际单位制中，磁通量的单位是韦伯，符号是 $\text{Wb}$。 $$1\text{Wb} = 1\text{T} \cdot \text{m}^2$$

磁场的高斯定理

由于磁场线是无头无尾的闭合曲线，从封闭曲面 $S$ 中穿出的磁场线必然会再次进入封闭曲面 $S$，因此磁场的高斯定理为

$$\oint \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S} = 0$$

安培环路定理

在静电场中，电场强度的环流等于零 ，即 $$\oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = 0$$

从 毕奥-萨伐尔定律 可以得到安培环路定理 安培环路定理的表述为：在恒定电流的磁场中，磁感应强度 $\boldsymbol{B}$ 沿任意闭合曲线 $L$ 的线积分（即环流）等于通过该闭合曲线内的电流代数和的 $\mu_0$ 倍。
即 $$\oint_L \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l} = \mu_0 \sum I_{\text{内}}$$ 式中，$\sum I_{\text{内}}$ 是通过环路 $L$ 内的电流代数和。
电流的正负号由电流的方向决定，若电流与环路的方向一致，则电流为正，否则为负。

安培环路定理的推导

若闭合曲线内包含有电流 取线元 $d\boldsymbol{l}$，在 $O$ 点处的距离为 $r$ ，张角为 $d\varphi$ ，与 $d\boldsymbol{l}$ 的夹角为 $\theta$。则有

$$rd\varphi = d\boldsymbol{l} \cdot \boldsymbol{r} = rdl\cos\theta$$ $$\oint_L \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l} = \oint_L Bdl\cos\theta =\oint_L Brd\varphi = \int_{0}^{2\pi} \frac{\mu_0 I}{2\pi r} rd\varphi = \mu_0 I$$

不包含电流时可以证明积分区域是两段角度互补的区域，所以积分为零。