洛伦兹力
导线中的电流在磁场中受到的 安培力 为其中运动电荷所受洛伦兹力的宏观表现。
$$\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$$
洛伦兹力垂直于粒子的速度 $\boldsymbol{v}$ ，故它只改变速度方向，不改变速度大小，即不做功。
带电粒子在磁场中的运动
- $\boldsymbol{v} \parallel \boldsymbol{B}$ 时，粒子做匀速直线运动。
- $\boldsymbol{v} \perp \boldsymbol{B}$ 时，粒子做匀速圆周运动。
- 回旋半径 $$R = \frac{mv}{qB}$$
- 回旋周期 $$T = \frac{2\pi m}{qB}$$
- 回旋频率 $$f = \frac{qB}{2\pi m}$$
- $\boldsymbol{v}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 的夹角为 $\theta$ 时，粒子做螺旋线运动。
可将 $\boldsymbol{v}$ 分解为 $\boldsymbol{v_{\parallel}}$ 和 $\boldsymbol{v_{\perp}}$ 两部分
- $\boldsymbol{v_{\parallel}}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 平行，不受磁场力作用，做匀速直线运动。
- $\boldsymbol{v_{\perp}}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 垂直，受到磁场力作用，做匀速圆周运动。
- 回旋半径 $$R = \frac{mv_{\perp}}{qB} = \frac{mv\sin\theta}{qB}$$
- 螺距 在一个周期内，粒子在磁场中沿轴线方向移动的距离。 $$L = v_{\parallel}T = v_{\parallel} \frac{2\pi m}{qB} = \frac{2\pi m v\cos\theta}{qB}$$
- 磁聚焦 当 $\theta$ 很小的时候， $v_{\parallel} \approx v$ ，一批带电粒子的速度分散在一定范围内，但是在磁场中运动后，速度分散减小，使得粒子聚焦在一点上。
应用实例
速度选择器
速度选择器是利用带电粒子在电场和磁场中的受力情况，使得只有特定速度的粒子通过的装置。 在速度选择器中，电场和磁场的方向垂直，电场的方向与磁场的方向相同，使得带电粒子在电场中受到的电场力和磁场力相互抵消，从而只有特定速度的粒子通过。 $$qE = qvB$$ $$v = \frac{E}{B}$$
汤姆孙实验
$$evB = \frac{mv^2}{r}$$ $$eE = evB$$ $$\frac{e}{m} = \frac{v}{rB} = \frac{E}{B^2r}$$
质谱仪
$$qvB’ = m\frac{v^2}{r}$$ $$m = \frac{qB’r}{v} = \frac{qBB’r}{E}$$
回旋加速器
$$\frac{T}{2} = \frac{\pi m}{qB}$$ $$v = \frac{qBR}{m}$$
霍尔效应
$$U_H = E_Hh = v_DBh$$ $$I = nqv_Dbh$$ $$U_H = \frac{IB}{nqb}$$ 其中 $U_H$ 为霍尔电压， $K_H = \frac{1}{nq}$ 为霍尔系数，只与材料有关。