库仑定律
电荷
- 同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引
- 电荷守恒定律：封闭系统内电荷总量不变
- 电荷量的最小单位是电子电荷量，$e=1.6\times10^{-19}C$
- 电荷量的量子化：$Q=ne$
两个理想模型
- 点电荷模型：电荷半径远小于与之距离的物体尺寸
- 连续电荷分布模型：电荷半径远大于与之距离的物体尺寸
库仑定律
库伦使用扭秤实验得到了电荷之间的相互作用力与电荷量大小和距离的平方成正比的关系，即库仑定律。
$$\boldsymbol{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r_{12}^2}\boldsymbol{e_{r_{12}}}$$
其中$\varepsilon_0=8.85\times10^{-12}C^2/N\cdot m^2$为真空介电常数，$\boldsymbol{e_{r_{12}}}$为单位矢量。
公式中引入了 $4\pi$ 银子的做法，称为单位制的有理化，虽然会使公式看起来更复杂，但是可以使电磁学中的其他公式相对简单。
库仑定律的适用条件
- 在真空中
- 电荷处于静止状态
- 点电荷
- 若两个电荷之间并非相对静止，则显然 $F_1 \neq F_2$，则两个电荷之间的相互作用力不满足牛顿第三定律
电场力的叠加
$$ \boldsymbol{F} = \sum_{i=1}^n \boldsymbol{F_i} = \sum_{i=1}^n \frac{q_iq_0}{4\pi\varepsilon_0r_{i0}^2}\boldsymbol{e_{r_{i0}}} $$
电场
与电荷的关系
$$\text{电荷} \rightleftharpoons \text{电场} \rightleftharpoons \text{电荷}$$
电场对外的表现主要有
- 电场力
- 做功：具有电场能
- 静电感应现象和极化现象
电场强度
定义
$$\boldsymbol{E} = \frac{\boldsymbol{F}}{q}$$
点电荷产生的电场强度
$$\boldsymbol{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\boldsymbol{e_r}$$
电偶极子
电偶极子电荷连续分布的带电体产生的电场
$$d\boldsymbol{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^2}\boldsymbol{e_r}$$ $$\boldsymbol{E} = \int d\boldsymbol{E} = \int \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^2}\boldsymbol{e_r}$$ 可以把矢量分别沿三个坐标轴分解，然后分别积分，最后合成矢量。 $$d\boldsymbol{E} = dE_x \boldsymbol{i} + dE_y \boldsymbol{j} + dE_z \boldsymbol{k}$$ $$E_x = \int dE_x, \quad E_y = \int dE_y, \quad E_z = \int dE_z$$
电荷密度
- 电荷线密度 $$\lambda_e = \frac{dq}{dl}$$
- 电荷面密度 $$\sigma_e = \frac{dq}{dS}$$
- 电荷体密度 $$\rho_e = \frac{dq}{dV}$$
几个模型
点电荷模型
电偶极子
无限长均匀带电直线 $r$ 为距离直线的距离，$\lambda_e$ 为线密度，则当 $r \gg l$ 时 (即 $r$ 远大于线长) $$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2\lambda}{r}$$ 等价于一个点电荷产生的电场
均匀带电圆环 $r$ 为距离圆心的距离，$\lambda_e$ 为线密度，则 $$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qr}{(r^2 + R^2)^{\frac{3}{2}}}$$ 当 $r \gg R$ 时 (即 $r$ 远大于圆环半径) $$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$$
无限大均匀带电平面 $r$ 为距离平面的距离，$\sigma_e$ 为面密度，则当 $r \gg l$ 时 (即 $r$ 远大于平面长) $$E = \frac{\sigma_e}{2\varepsilon_0}$$
均匀带电圆盘
- $r$ 接近于 $0$ 时，圆盘可看作一个无限大带电平面，即 $E = \frac{\sigma_e}{2\varepsilon_0}$
- $r$ 远大于圆盘半径时，圆盘可看作一个点电荷，即 $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$
无限大带电厚壁 $r$ 为距离平面左端的距离，$\rho_e$ 为体密度，$d$ 为厚度。 可以看作连续的无限大带电平面，即 $$E = \int_{0}^{d} \frac{\frac{d \rho_e}{dx}}{2\varepsilon_0} dx$$
静电场的高斯定理
电场强度通量
- 对于闭合的曲面，正负号表示电场线的穿入和穿出。一般定义电场线从介质内部穿出为正，从介质外部穿入为负。
- 对于开放曲面，正负号表示电场线的方向。
- 一般定义从下往上为正，从上往下为负。
- 从左往右为正，从右往左为负。
- 从里往外为正，从外往里为负。
$$\varPhi_e = \oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S}$$
高斯定理
$$\varPhi_e = \oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$$
高斯定理是电场强度通量的一个重要定理，它表明了电场强度通量与电荷量之间的关系。
说明静电场是有源场，正电荷是电场的源，负电荷是电场的汇。
高斯定理不能说明闭合曲面内处处没有电荷，只能说明闭合曲面内的电荷总量。
高斯定理的应用
- 对于球对称的问题，一般取高斯面为球面，与电场线垂直
- 对于轴对称的问题，一般取高斯面为圆柱面，侧面与电场线垂直
- 对于平面对称的问题，一般取高斯面为柱面，两底面与电场线垂直
静电场的环路定理与电势
静电场的环路定理
引理
$$A_{ab} = \int_{a}^{b} d\boldsymbol{A} = \int_{a}^{b} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = \int_{a}^{b} E \cdot dl \cdot \cos \theta$$
环路定理
$$\oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = 0$$ 表述为：在静电场电场强度的环流等于零。
与 高斯定理 一样，也是表述静电场性质的一个重要定理，可以用环路定理检验一个电场是否是静电场。
静电势能
静电力做的功： $$A_{ab} = \int_a^b \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{l} = W_a - W_b = -\Delta W$$ 对于试验电荷 $q$，在电场中移动的过程中，电场力做的功为 $$A_{ab} = \int_a^b \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{l} = q \int_a^b \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = q \int_a^b E \cdot dl \cdot \cos \theta$$ 将电荷移到电势零点电场力做的功称为电荷在电场中的势能，即 $$\Delta W = W_a - W_b = q \int_a^b E \cdot dl \cdot \cos \theta = q \int_a^b E \cdot dl = q \Delta U$$ 电势能单位为焦耳，符号为 $\text{J}$。
电势与电势差
$$\varphi = \frac{W}{q} = \int_{a}^{\text{电势零点}} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}$$ 在理论计算中通常选取无穷远为电势零点，即 $$\varphi = \int_{P}^{\infty} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} \quad (\varphi_{\infty} = 0)$$ 电势差，也称电压，是指两点之间的电势差，即 $$U_{ab} = \varphi_a - \varphi_b = \int_{a}^{b} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}$$ 静电力做的功可以表示为 $$A_{ab} = q U_{ab}$$
电势能的计算
积分
$$\varphi = \int_{P}^{\infty} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = -\int_{\infty}^{P} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}$$
点电荷
$$\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r}$$
叠加法
$$\varphi = \sum_{i=1}^n \varphi_i = \sum_{i=1}^n \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_i}{r_i}$$ $$\varphi = \int d\varphi$$
等势面
等势面上的法向量与电场强度的方向相同，即 $$\boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = 0$$
电偶极子
定义
电偶极子是由两个相等大小、异种电荷构成的，相距很近的两个点电荷组成的系统。
设电偶极子的两个电荷分别为 $+q$ 和 $-q$，两电荷之间的距离为 $l$，则电偶极矩为 $$\boldsymbol{p} = q\boldsymbol{l}$$
电偶极矩是一个矢量，其方向由 $-q$ 指向 $+q$。
场强分布
设 $r$ 为点电荷到电偶极子中心的距离，$\theta$ 为 $r$ 与电偶极矩的夹角，则
- 在电偶极子的延长线上 $$E_+ = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}$$ $$E_- = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}$$ $$E = E_+ - E_- = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2lr}{\left(r^2-\frac{l^2}{4}\right)^2}$$ 即有 当 $r \gg l$ 时，有 $$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2p}{r^3}$$
- 在电偶极子的轴线上
$$E_+ = E_- = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2+\frac{l^2}{4}}$$
由对称性分析，两个点电荷在轴线上产生的场强大小相等，方向相反，仅留下了 $E$ 的 $-\boldsymbol{l}$ 方向的分量，即
$$E = -E_+ \cos \theta - E_- \cos \theta = -2 E_+ \cos \theta = -2 \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2+\frac{l^2}{4}}\cos \theta$$
由几何关系可得
$$\cos \theta = \frac{l / 2}{\sqrt{r^2 + \left(l / 2\right)^2}} = \frac{1}{2} \frac{l}{\sqrt{r^2 + \frac{l^2}{4}}}$$
代入上式可得
$$E = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{ql}{\left(r^2 + \frac{l^2}{4}\right)^{\frac{3}{2}}}$$
当 $r \gg l$ 时，有
$$E = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{p}{r^3}$$
其中负号代表电场方向与电偶极矩方向相反。
可以写成矢量式
$$\boldsymbol{E} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\boldsymbol{p}}{r^3}$$ - 在电偶极子的任意场点处 略，见教材 P23。
电偶极子在外电场中所受的力矩
处于匀强电场中的电偶极子，其两个电荷受到的力相等，方向相反，合力为零，但是它们所受的力矩不为零。电偶极子在外电场中所受的力矩为： $$\boldsymbol{M} = \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{E}$$
电偶极子在外电场中的电势能
$$W_{e+} = q \varphi_+, \quad W_{e-} = q \varphi_-$$ $$W_e = W_{e+} - W_{e-} = q(\varphi_+ - \varphi_-)$$ $$\varphi_+ - \varphi_- = \int_{+}^{-} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}$$ 由于$\boldsymbol{E}$是匀强电场 $$\int_{+}^{-} d \boldsymbol{l} = -\boldsymbol{l}$$ $$W_e=q\boldsymbol{E}\int_{+}^{-}d\boldsymbol{l}=-\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E} = -\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E} = -pE\cos\theta$$