与电荷的关系

$$\text{电荷} \rightleftharpoons \text{电场} \rightleftharpoons \text{电荷}$$

电场对外的表现主要有

1. 电场力
2. 做功：具有电场能
3. 静电感应现象和极化现象

电场强度

定义

$$\boldsymbol{E} = \frac{\boldsymbol{F}}{q}$$

点电荷产生的电场强度

$$\boldsymbol{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\boldsymbol{e_r}$$

电偶极子

电荷连续分布的带电体产生的电场

$$d\boldsymbol{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^2}\boldsymbol{e_r}$$ $$\boldsymbol{E} = \int d\boldsymbol{E} = \int \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^2}\boldsymbol{e_r}$$ 可以把矢量分别沿三个坐标轴分解，然后分别积分，最后合成矢量。 $$d\boldsymbol{E} = dE_x \boldsymbol{i} + dE_y \boldsymbol{j} + dE_z \boldsymbol{k}$$ $$E_x = \int dE_x, \quad E_y = \int dE_y, \quad E_z = \int dE_z$$

电荷密度

1. 电荷线密度 $$\lambda_e = \frac{dq}{dl}$$
2. 电荷面密度 $$\sigma_e = \frac{dq}{dS}$$
3. 电荷体密度 $$\rho_e = \frac{dq}{dV}$$

几个模型

1. 点电荷模型

2. 电偶极子

3. 无限长均匀带电直线 $r$ 为距离直线的距离，$\lambda_e$ 为线密度，则当 $r \gg l$ 时 (即 $r$ 远大于线长) $$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2\lambda}{r}$$ 等价于一个点电荷产生的电场

4. 均匀带电圆环 $r$ 为距离圆心的距离，$\lambda_e$ 为线密度，则 $$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qr}{(r^2 + R^2)^{\frac{3}{2}}}$$ 当 $r \gg R$ 时 (即 $r$ 远大于圆环半径) $$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$$

5. 无限大均匀带电平面 $r$ 为距离平面的距离，$\sigma_e$ 为面密度，则当 $r \gg l$ 时 (即 $r$ 远大于平面长) $$E = \frac{\sigma_e}{2\varepsilon_0}$$

6. 均匀带电圆盘

   • $r$ 接近于 $0$ 时，圆盘可看作一个无限大带电平面，即 $E = \frac{\sigma_e}{2\varepsilon_0}$
   • $r$ 远大于圆盘半径时，圆盘可看作一个点电荷，即 $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$

7. 无限大带电厚壁 $r$ 为距离平面左端的距离，$\rho_e$ 为体密度，$d$ 为厚度。 可以看作连续的无限大带电平面，即 $$E = \int_{0}^{d} \frac{\frac{d \rho_e}{dx}}{2\varepsilon_0} dx$$