静电场的环路定理

引理

$$A_{ab} = \int_{a}^{b} d\boldsymbol{A} = \int_{a}^{b} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = \int_{a}^{b} E \cdot dl \cdot \cos \theta$$

环路定理

$$\oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = 0$$ 表述为：在静电场电场强度的环流等于零。

与 高斯定理 一样，也是表述静电场性质的一个重要定理，可以用环路定理检验一个电场是否是静电场。

静电势能

静电力做的功： $$A_{ab} = \int_a^b \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{l} = W_a - W_b = -\Delta W$$ 对于试验电荷 $q$，在电场中移动的过程中，电场力做的功为 $$A_{ab} = \int_a^b \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{l} = q \int_a^b \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = q \int_a^b E \cdot dl \cdot \cos \theta$$ 将电荷移到电势零点电场力做的功称为电荷在电场中的势能，即 $$\Delta W = W_a - W_b = q \int_a^b E \cdot dl \cdot \cos \theta = q \int_a^b E \cdot dl = q \Delta U$$ 电势能单位为焦耳，符号为 $\text{J}$。

电势与电势差

$$\varphi = \frac{W}{q} = \int_{a}^{\text{电势零点}} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}$$ 在理论计算中通常选取无穷远为电势零点，即 $$\varphi = \int_{P}^{\infty} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} \quad (\varphi_{\infty} = 0)$$ 电势差，也称电压，是指两点之间的电势差，即 $$U_{ab} = \varphi_a - \varphi_b = \int_{a}^{b} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}$$ 静电力做的功可以表示为 $$A_{ab} = q U_{ab}$$

电势能的计算

积分

$$\varphi = \int_{P}^{\infty} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = -\int_{\infty}^{P} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}$$

点电荷

$$\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r}$$

叠加法

$$\varphi = \sum_{i=1}^n \varphi_i = \sum_{i=1}^n \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_i}{r_i}$$ $$\varphi = \int d\varphi$$

等势面

等势面上的法向量与电场强度的方向相同，即 $$\boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = 0$$