恒定电流
电流
电流是由大量带电粒子定向运动形成的,这些形成电流的粒子可以是自由电子、离子、空穴等,被统称为 载流子 。
描述电流的物理量是电流强度,用符号$I$表示,它等同于单位时间内通过导体横截面的电荷量,即
$$I = \frac{dq}{dt}$$
电流的单位是安培(A)。
$$1A = 1C/s$$
安培是国际单位制的基本单位之一,而电荷量的单位库仑则是导出单位。
电流是 标量 ,但是为了分析问题方便,习惯将正电荷流动的方向定义为电流的方向。
当通过导体任一截面的电流 $I$ 不随时间变化时,称为 恒定电流 。
电流密度
实际上大块导体内部的电流并不是均匀分布的,为了更细致地描述电流的分布情况,引入了 电流密度 的概念。
$$I = \frac{\delta Q}{\delta t} = neSv_D$$
$$J = \frac{I}{S} = nev_D$$
一般的,电流密度为 矢量 ,方向与电流方向一致,大小为单位横截面积上的电流量。故
$$\boldsymbol{J} = nq\boldsymbol{v}_D$$
$$I = \oint_S \boldsymbol{J} \cdot d\boldsymbol{S} = -\frac{dq_{\text{内}}}{dt}$$ 这一关系式被称为 电流的连续性方程 。 当 $$\oint_S \boldsymbol{J} \cdot d\boldsymbol{S} = 0$$ 时,称为 稳恒电流 。
欧姆定律的微分形式
欧姆定律
$$I = \frac{U}{R}$$
电阻率和电导率
$\rho$ 称为 电阻率 ,$\sigma = \frac{1}{\rho}$ 称为 电导率。
粗细均匀的导体中,电阻率 $\rho$ 为常数,导体的长度为 $l$ ,横截面积为 $S$ ,则
$$R = \rho \frac{l}{S}$$
欧姆定律的微分形式
取一段长为 $dl$,横截面积为 $dS$ 的圆柱形体积元,流过截面 $dS$ 的电流为
$$dI = \frac{dU}{R}$$
当体积元足够短时,可以忽略场强沿圆柱长度方向的变化,所以有 $dU = Edl$,又由 $dI = JdS$,$R = \rho \frac{dl}{dS}$,所以
$$JdS = \frac{1}{\rho} \frac{dS}{dl} Edl = \frac{E}{\rho} dS$$
因此
$$J = \sigma E$$
由于 $\boldsymbol{J}$ 和 $\boldsymbol{E}$ 的方向相同,可以写成矢量形式
$$\boldsymbol{J} = \sigma \boldsymbol{E}$$
电源和电动势
用受到的非静电力与电荷量的比值来定义非静电场场强,用 $E_k$ 表示,即 $$E_k = \frac{F}{q}$$
非静电力把单位正电荷经电源内部从负极移动到正极的功称为电源的电动势,用符号 $\mathcal{E}$ 表示,即 $$\mathcal{E} = \int_{-}^{+} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}$$
当非静电力存在于整个回路时,整个回路的总电动势为 $$\mathcal{E} = \oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}$$
电动势是标量,但为了便于判断在电流流通时,非静电力是做正功还是负功,常把电源内部电势升高的方向定义为电动势的方向。
磁场和磁感应强度
磁的基本现象
磁极
磁铁中有两块磁性最强的区域,称为 磁极。磁极分为 南极 和 北极。
磁单极子
磁单极子是一种假想的磁体,只有一个磁极。实际上,迄今为止还没有发现磁单极子。
磁偏角
地球的磁场是地球内部的磁性物质产生的,地球的磁极与地球的自转轴不重合,地球的磁极与地理极之间的夹角称为 磁偏角。
安培分子电流假说
分子电流相当于一个基元磁体,当物质中的分子电流规则排列时,物质就具有磁性。
一段段的小电流接续形成一个大的环形电流,从一端看是 $N$ 极,从另一端看是 $S$ 极。
这个假说也能说明不存在磁单极子。因为一个磁极对应一面,存在一面就必然存在另一面。
现代理论表明,分子内电子的运动形成了分子电流,从而产生了物质的磁性。 所有的磁现象都可以归结为运动电荷之间的相互作用,磁力是运动电荷相互作用的表现。
磁场与磁感应强度
与 静止电流之间的相互作用通过电场来传递 一样,运动电荷之间的作用是通过磁场来传递的。
可以表示为: $$\text{运动电荷} \rightleftharpoons \text{磁场} \rightleftharpoons \text{运动电荷}$$
为了定量描述磁场的分布,引入了磁感应强度的概念,用符号 $\boldsymbol{B}$ 表示。
任一电荷收到的作用力是由电场力和磁场力共同决定的,即 $$\boldsymbol{F} = \boldsymbol{F}_e + \boldsymbol{F}_m$$ 其中 $\boldsymbol{F}_e$ 是电场力,与电荷的运动速度无关;$\boldsymbol{F}_m$ 是磁场力,与电荷的运动速度有关。$\boldsymbol{v}$ 的大小和方向不同,$\boldsymbol{F}_m$ 的大小和方向也不同。
$$\boldsymbol{F}_m = q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$$
上式表示的磁力也被称为洛伦兹力 大小为 $$F_m = qvB\sin\theta$$
可以根据右手螺旋定则来判断磁场力的方向。
同时也可以用该式来确定磁感应强度的方向。
毕奥-萨伐尔定律
毕奥-萨伐尔定律
真空中电流元产生的磁感应强度为:
$$d\boldsymbol{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{e_r}}{r^2}$$
其中, $\mu_0$ 为 真空磁导率,其值为 $4\pi \times 10^{-7} , \text{T} \cdot \text{m} / \text{A}$。
则 $d\boldsymbol{B}$ 的大小为 $$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Idl \sin \theta}{r^2}$$ 其中, $\theta$ 为 $d\boldsymbol{l}$ 与 $\boldsymbol{e_r}$ 的夹角。
因此电流元产生的磁场与电流元的大小成正比,与距离的平方成反比。
和
库仑定律
一样满足反比平方定律。
方向由右手螺旋定则确定。
毕奥-萨伐尔定律的应用
直导线
在真空中有一段长为 $L$ 的直导线,电流为 $I$。 场点 $P$ 到直导线的垂直距离为 $a$,两端与电流方向的夹角分别为 $\theta_1$ 和 $\theta_2$。 $$B = \int dB = \frac{\mu_0}{4\pi} I \int \frac{dl \sin \theta}{r^2}$$ 其中 $r$ = $\frac{a}{\sin \theta}$,$l = -a \cot \theta$,则 $dl = \frac{a}{\sin^2 \theta} d\theta$。 将 $l$ 和 $dl$ 代入上式,得 $$\begin{aligned}s B &= \frac{\mu_0}{4\pi} I \int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{ \sin \theta}{a^2 / \sin^2 \theta} \frac{a}{\sin^2 \theta} d\theta \newline &= \frac{\mu_0}{4\pi a} I \int_{\theta_1}^{\theta_2} d\theta = \frac{\mu_0}{4\pi a} I \left(\cos \theta_1 - \cos \theta_2\right)\end{aligned}$$
- 无限长直导线
- $\theta_1 = 0$
- $\theta_2 = \pi$
- $B = \frac{\mu_0}{2\pi a} I$
- 半无限长直导线
- $\theta_1 = \frac{\pi}{2}$
- $\theta_2 = \pi$
- $B = \frac{\mu_0}{4\pi a} I$
- 导线延长线上的磁场
- $\theta_1 = \theta_2 = \pi$
- $B = 0$
载流圆线圈轴线上的磁场
在真空中有一半径为 $R$,载流量为 $I$ 的圆线圈,场点 $P$ 在圆线圈轴线上,到圆线圈中心的距离为 $x$。
$$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Idl}{r^2}$$ 有 $$dB_{\parallel} = dB \sin \theta$$ $$dB_{\perp} = dB \cos \theta$$ 由于对称性,$dB_{\perp}$ 的积分为零,只需计算 $dB_{\parallel}$ 的积分。 $$B = \int dB_{\parallel} = \frac{\mu_0}{4\pi} I \int \frac{dl \sin \theta}{r^2}$$ 式中 $\sin \theta = \frac{R}{r}$
$$B = \frac{\mu_0 IR}{4\pi r^3} \int_0^{2\pi R} dl = \frac{\mu_0 IR^2}{2 r^3}$$ 由于 $r^2 = R^2 + x^2$,则 $$B = \frac{\mu_0 IR^2}{2 (R^2 + x^2)^{3/2}}$$ 方向满足右手螺旋定则关系。
- 若 $x = 0$,即场点在圆线圈中心,则 $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$
- 若载流导线为一段圆弧,则在其圆心处产生的磁场 $B = \frac{\mu_0 I}{2R} \frac{\theta}{2\pi}$
- 若 $x \gg R$,则 $B = \frac{\mu_0 IR^2}{2x^3}$
磁偶极子
定义圆电流的磁矩为 $$\boldsymbol{m} = I \boldsymbol{S}$$ 单位为 $\text{A} \cdot \text{m}^2$。
由于 $S = \pi R^2$,结合
载流圆线圈轴线上的磁场公式
,得
$$\boldsymbol{B} = \frac{\mu_0 \boldsymbol{m}}{2\pi x^3}$$
该式与
静电场中的电偶极子的电场强度表达式
相似,而且磁感应线分布也与电偶极子的电场线分布相似,因此我们将圆电流称为磁偶极子。
载流直螺线管轴线上的磁场
可以视作无限多个载流圆线圈的叠加 设 $P$ 为轴线上一点,到螺线管一端的距离为 $x$,螺线管的半径为 $R$,载流量为 $I$,单位长度上有 $n$ 匝

$$dB = \frac{\mu_0}{2} \frac{R^2 dI}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0}{2} \frac{R^2 n I dx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$$ $$B = \int dB = \int \frac{\mu_0}{2} \frac{R^2 n I dx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$$
到螺线管某个微分点的距离为 $r$,夹角为 $\theta$
根据几何关系知:
$$r^2 = R^2 + x^2, \quad r \sin \theta = R, \quad x = \frac{R}{\tan \theta}, dx = \frac{R d\theta}{\sin^2 \theta}$$
代入上式,得 $$dB = \frac{\mu_0}{2} \frac{R^2 n I}{(R / \sin \theta)^3} \frac{R d\theta}{\sin^2 \theta} = \frac{\mu_0}{2} n I \sin \theta d\theta$$
故得 $P$ 点的磁场为
$$B = \frac{\mu_0}{2} n I \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin \theta d\theta = \frac{\mu_0}{2} n I (\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$$
- 当 $L \gg R$ 时,螺线管近似为无限长,即 $\theta_1 = \pi$,$\theta_2 = 0$,则 $B = \mu_0 n I$
- 若 $P$ 点在任意一端的中心口处,且 $L \gg R$,则有 $\theta_1 = \pi / 2$, $\theta_2 = 0$ 或 $\theta_1 = \pi$, $\theta_2 = \pi / 2$,则 $B = \frac{\mu_0}{2} n I$
可见半无限长螺线管的磁场强度是无限长螺线管磁场强度的一半。
磁场的高斯定理和安培环路定理
磁通量和磁场的高斯定理
磁通量
类比于 静电场中引入的电通量 ,定义磁场中的磁通量为 $$\varPhi = \int \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S}$$ 在国际单位制中,磁通量的单位是韦伯,符号是 $\text{Wb}$。 $$1\text{Wb} = 1\text{T} \cdot \text{m}^2$$
磁场的高斯定理
由于磁场线是无头无尾的闭合曲线,从封闭曲面 $S$ 中穿出的磁场线必然会再次进入封闭曲面 $S$,因此磁场的高斯定理为
$$\oint \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S} = 0$$
安培环路定理
在静电场中,电场强度的环流等于零 ,即 $$\oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = 0$$
从
毕奥-萨伐尔定律
可以得到安培环路定理
安培环路定理的表述为:在恒定电流的磁场中,磁感应强度 $\boldsymbol{B}$ 沿任意闭合曲线 $L$ 的线积分(即环流)等于通过该闭合曲线内的电流代数和的 $\mu_0$ 倍。
即
$$\oint_L \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l} = \mu_0 \sum I_{\text{内}}$$
式中,$\sum I_{\text{内}}$ 是通过环路 $L$ 内的电流代数和。
电流的正负号由电流的方向决定,若电流与环路的方向一致,则电流为正,否则为负。

安培环路定理的推导
若闭合曲线内包含有电流 取线元 $d\boldsymbol{l}$,在 $O$ 点处的距离为 $r$ ,张角为 $d\varphi$ ,与 $d\boldsymbol{l}$ 的夹角为 $\theta$。则有
$$rd\varphi = d\boldsymbol{l} \cdot \boldsymbol{r} = rdl\cos\theta$$ $$\oint_L \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l} = \oint_L Bdl\cos\theta =\oint_L Brd\varphi = \int_{0}^{2\pi} \frac{\mu_0 I}{2\pi r} rd\varphi = \mu_0 I$$
不包含电流时可以证明积分区域是两段角度互补的区域,所以积分为零。

磁场对载流导线的作用
安培力
$$\boldsymbol{F} = \int I\boldsymbol{B} \times d\boldsymbol{l}$$
磁场对载流线圈的作用
磁矩 $\boldsymbol{m}$ 为 $$\boldsymbol{m} = N I \boldsymbol{S}$$
磁力矩的效果是让载流线圈磁矩的方向与磁场方向一致。
$$\boldsymbol{M} = \boldsymbol{m} \times \boldsymbol{B}$$
磁场对运动电荷的作用
洛伦兹力
导线中的电流在磁场中受到的 安培力 为其中运动电荷所受洛伦兹力的宏观表现。
$$\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$$
洛伦兹力垂直于粒子的速度 $\boldsymbol{v}$ ,故它只改变速度方向,不改变速度大小,即不做功。
带电粒子在磁场中的运动
- $\boldsymbol{v} \parallel \boldsymbol{B}$ 时,粒子做匀速直线运动。
- $\boldsymbol{v} \perp \boldsymbol{B}$ 时,粒子做匀速圆周运动。
- 回旋半径 $$R = \frac{mv}{qB}$$
- 回旋周期 $$T = \frac{2\pi m}{qB}$$
- 回旋频率 $$f = \frac{qB}{2\pi m}$$
- $\boldsymbol{v}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 的夹角为 $\theta$ 时,粒子做螺旋线运动。
可将 $\boldsymbol{v}$ 分解为 $\boldsymbol{v_{\parallel}}$ 和 $\boldsymbol{v_{\perp}}$ 两部分
- $\boldsymbol{v_{\parallel}}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 平行,不受磁场力作用,做匀速直线运动。
- $\boldsymbol{v_{\perp}}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 垂直,受到磁场力作用,做匀速圆周运动。
- 回旋半径 $$R = \frac{mv_{\perp}}{qB} = \frac{mv\sin\theta}{qB}$$
- 螺距 在一个周期内,粒子在磁场中沿轴线方向移动的距离。 $$L = v_{\parallel}T = v_{\parallel} \frac{2\pi m}{qB} = \frac{2\pi m v\cos\theta}{qB}$$
- 磁聚焦 当 $\theta$ 很小的时候, $v_{\parallel} \approx v$ ,一批带电粒子的速度分散在一定范围内,但是在磁场中运动后,速度分散减小,使得粒子聚焦在一点上。
应用实例
速度选择器
速度选择器是利用带电粒子在电场和磁场中的受力情况,使得只有特定速度的粒子通过的装置。 在速度选择器中,电场和磁场的方向垂直,电场的方向与磁场的方向相同,使得带电粒子在电场中受到的电场力和磁场力相互抵消,从而只有特定速度的粒子通过。 $$qE = qvB$$ $$v = \frac{E}{B}$$
汤姆孙实验
$$evB = \frac{mv^2}{r}$$ $$eE = evB$$ $$\frac{e}{m} = \frac{v}{rB} = \frac{E}{B^2r}$$
质谱仪
$$qvB’ = m\frac{v^2}{r}$$ $$m = \frac{qB’r}{v} = \frac{qBB’r}{E}$$
回旋加速器
$$\frac{T}{2} = \frac{\pi m}{qB}$$ $$v = \frac{qBR}{m}$$
霍尔效应
$$U_H = E_Hh = v_DBh$$ $$I = nqv_Dbh$$ $$U_H = \frac{IB}{nqb}$$ 其中 $U_H$ 为霍尔电压, $K_H = \frac{1}{nq}$ 为霍尔系数,只与材料有关。
磁场中的磁介质
磁介质对磁场的影响
类比
电介质对电场的影响
,有介质时的磁场可以被表示为
$$\boldsymbol{B} = \boldsymbol{B_0} + \boldsymbol{B}’$$
其中,$\boldsymbol{B}$ 是介质中的磁感应强度,$\boldsymbol{B_0}$ 原磁场,$\boldsymbol{B}’$ 是介质产生的磁场。
根据实验表明,磁介质内的磁感应强度 $\boldsymbol{B}$ 为真空时的 $\mu_r$ 倍,即 $$\boldsymbol{B} = \mu_r \boldsymbol{B_0}$$ 式中,$\mu_r$ 是磁介质的相对磁导率,为无量纲量。
磁介质的种类
顺磁质
$$\mu_r > 1$$
抗磁质
$$\mu_r < 1$$
铁磁质
顺磁质和抗磁质的混合体的 $\mu_r$ 接近于1,而铁磁质的 $\mu_r$ 远大于1。
$\boldsymbol{B}$ 和 $\boldsymbol{B}’$ 方向相同,内部磁场被大大增强。
磁介质的磁化
磁介质内由大量杂乱的 分子磁矩 组成,可以用等效的圆电流即 分子电流 来描述 有外磁场时,磁介质的状态就会发生变化,这种现象称为 磁化 。
- 顺磁质在外磁场的作用下,分子磁矩的方向与外磁场方向一致,磁介质内部的磁场增强。
- 抗磁质在外磁场的作用下,在原有的磁矩方向上产生一个与外磁场方向相反的磁矩,磁介质内部的磁场减弱。
这些方向相同的附加磁矩的矢量和就是一个分子在外磁场中产生的 感生磁矩。
磁化强度
$$\boldsymbol{M} = \frac{\sum \boldsymbol{m}}{V}$$
磁化电流
$$I’ = \oint_L \boldsymbol{M} \cdot d\boldsymbol{l}$$
有磁介质时的安培环路定理
类似于 有介质时的高斯定理 ,通过引入适当的物理量可以简化问题。
$$\oint_L \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l} = \mu_0 (\sum I_{\text{0内}} + I’_{\text{内}})$$
移项得到
$$\oint_L \left(\frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0} - \boldsymbol{M}\right) \cdot d\boldsymbol{l} = \sum I_{\text{0内}}$$
引入磁场强度 $\boldsymbol{H}$,定义为 $$\boldsymbol{H} = \frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0} - \boldsymbol{M}$$
故安培环路定理可以简化为
$$\oint_L \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = \sum I_{\text{0内}}$$
磁化强度与磁场强度的关系
$$\boldsymbol{M} = \chi_m \boldsymbol{H}$$
式中,$\chi_m$ 为磁化率,是无量纲量。
代入 $$\boldsymbol{H} = \frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0} - \boldsymbol{M}$$
得到
$$\boldsymbol{B} = \mu_0 (\boldsymbol{H} + \boldsymbol{M}) = \mu_0 (1 + \chi_m) \boldsymbol{H} = \mu_0 \mu_r \boldsymbol{H} = \mu \boldsymbol{H}$$
即
$$\boldsymbol{B} = \mu \boldsymbol{H}$$
$\mu_r = 1 + \chi_m$ 为磁介质的相对磁导率,$\mu = \mu_0 \mu_r$ 为磁介质的磁导率。