狭义相对论力学基础

狭义相对论的基本原理

牛顿绝对时空观

1. 空间是处处均匀的、各向同性的三维欧几里得空间，空间与物质的运动没有任何联系，空间中任意两点间的距离是一个与观测者所在参考系无关的绝对量，即空间长度是绝对的
2. 时间是从过去、现在到将来均匀地流逝着的，在整个宇宙，时间是划一的，也与物质的运动无关，两个事件之间的时间间隔不随参考系的改变而改变，即时间间隔也是绝对的
3. 空间与时间各自独立存在，是物体运动的基础，是第一位的，而物体运动在它们的框架内进行，是第二位的。

牛顿力学的这种对时间和空间的认识被称为牛顿绝对时空观。

伽利略变换

$$\begin{aligned}x’ &= x - ut \newline y’ &= y \newline z’ &= z \newline t’ &= t\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}v_x’ &= v_x - u \newline v_y’ &= v_y \newline v_z’ &= v_z\end{aligned}$$ 即 $$\boldsymbol{v}’ = \boldsymbol{v} - \boldsymbol{u}$$ 对时间求导 $$\boldsymbol{a}’ = \boldsymbol{a}$$

力学相对性原理

牛顿定律在任何惯性参考系中都成立，这就是力学相对性原理。

根据伽利略变换，有 $$m = m’ \quad \boldsymbol{a} = \boldsymbol{a}’$$ 即 $$\boldsymbol{F} = \boldsymbol{F}’$$

可见，伽利略变换也同样反映了力学相对性原理。

迈克尔逊-莫雷实验

迈克尔逊-莫雷实验是为了检验以太的存在。实验结果表明，光速在不同方向上都是相同的，这与以太的存在相矛盾。

当 $l = 10 \mathrm{m}$ 时，干涉条纹将移动 $0.37$ 条。但实验结果并没有看到预期的条纹移动。

爱因斯坦相对性原理

物理定律在所有惯性系中都具有相同的数学表达形式，即对包括电磁规律在内的所有物理规律，不同惯性系都是等价的，不存在任何特殊的惯性系（比如以太参考系）。这就是爱因斯坦相对性原理。

爱因斯坦光速不变原理

在所有惯性系中，光在真空中的传播速率都等于 $c$ 。也就是说，无论光源和观察者在真空中如何运动，无论光的频率是多少，测得的光速都相等。这就是爱因斯坦光速不变原理。

爱因斯坦正是在 光速不变原理 这一基本假设的基础上，推导得到了 同时性的相对性 这一狭义相对论中最本质的时空效应，并在此基础上得到了反映狭义相对论时空观的洛伦兹变换。

爱因斯坦认为， 相对性 是自然界的根本规律，这也是狭义相对论的实质，是对力学相对性原理的发展。

他认为，物质运动是客观的、第一位的；时间、空间与物质运动紧密相连，可随着物质运动的不同而变化，是第二位的。

相对论时空效应

空间和时间的测量

事件

某时在空间某点发生的事情称为一个事件。
描述一个事件需要四个量：三个空间坐标和一个时间坐标，即 $(x, y, z, t)$。

同时性

同地同时性

同地同时性是绝对的，其同时性不会因为参考系的改变而发生改变，这意味着一个参考系对事件时间坐标的准确测址也会被其他参考系中的观测者所认同，这样，不同参考系中测得的同一事件的不同时间坐标之间的对比才有意义。

异地同时性

异地同时性是相对的，其同时性会因为参考系的不同而不同，异地同时性的相对性是相对论时空效应中最本质的效应。

时钟

由于对事件时间坐标的测量要求用事件发生处的时钟，而事件可能发生在空间任意地点。 因此在参考系的不同坐标处都有用来测量时间的时钟，这些时钟彼此间是对齐和同步的，也称为同步钟。 每个参考系都有属于自己的一系列同步钟。如果事件发生在 $x$ 坐标处，就需要用 $x$ 坐标处时钟来测量事件发生的时间坐标。设此时 $x$ 处时钟的指针正好指向 $t$ 时刻，则事件发生的时空坐标就为 $(x, t)$。

时间延缓效应

$$\Delta t = \frac{\Delta t’}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}$$

其中 $\Delta t$ 是在观测者坐标系测得的两事件之间的时间间隔，$\Delta t’$ 是事件在事件发生处的参考系中实际的时间间隔，$u$ 是观测者相对于事件发生处的参考系的速度，$c$ 是光速。

由于测得的时间间隔 $\Delta t$ 比实际时间间隔 $\Delta t’$ 要长，所以称为时间延缓效应。

长度收缩效应

由 $l’ = u \cdot \Delta t’$ 和 $l = u \cdot \Delta t$ 可得
$$l = l’ \cdot \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}$$ 其中 $l$ 为在观测者坐标系中测得的长度，称为运动长度，$l’$ 为事件发生处的参考系中实际的长度，称为固有长度

由于测得的长度 $l$ 比实际长度 $l’$ 要短，所以称为长度收缩效应。

长度收缩效应是一个纵向的效应，即只有在物体运动方向上的长度才会发生收缩。

由于时间延缓效应和长度收缩效应都是相对的，在两个系中观测对方的时钟和尺子，都会发现对方的时钟走得慢，尺子变短。

洛伦兹变换

洛伦兹变换

一个事件： $S$ 系中的坐标为 $(x, y, z, t)$， $S’$ 系中的坐标为 $(x’, y’, z’, t’)$，两个系之间的相对速度为 $u$ 满足以下关系：

1. $x$, $y$, $z$ 轴与 $x’$, $y’$, $z’$ 轴平行
2. $S’$ 系相对 $S$ 系沿 $x$ 轴正方向以速度 $u$ 运动
3. 当 $t = t’ = 0$ 时，两个系的坐标原点重合

$$\begin{aligned} \left. \begin{array}{ll} x’ &=& \frac{x-ut}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \newline y’ &=& y \newline z’ &=& z \newline t’ &=& \frac{t-\frac{u}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \end{array} \right \rbrace \quad \leftrightarrows \quad \left\lbrace \begin{array}{ll} x &=& \frac{x’ + ut’}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \newline y &=& y’ \newline z &=& z’ \newline t &=& \frac{t’ + \frac{u}{c^2}x’}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \end{array} \right. \end{aligned}$$

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$$
称为洛伦兹因子。 有 $$x’ = \gamma(x-ut)$$ 根据爱因斯坦相对性原理，两个系之间除了相对速度相反之外，没有其他差别，因此有 $$x = \gamma(x’+ut’)$$

$$x^2 + y^2 + z^2 - c^2t^2 = x’^2 + y’^2 + z’^2 - c^2t’^2 = 0$$

同时性的相对性

在 $S$ 系中，两个事件 $A$ 和 $B$ 在 $x$ 轴上的坐标分别为 $x_A$ 和 $x_B$，在 $S’$ 系中，两个事件的坐标分别为 $x’_A$ 和 $x’_B$，则有 $$x_A = \gamma(x’_A + ut’_A)$$ $$x_B = \gamma(x’_B + ut’_B)$$ 两个事件同时发生的条件是 $t_A = t_B$，即 $t’_A = t’_B$，则有 $$x_A = \gamma(x’_A + ut’_A) = \gamma(x’_B + ut’_B) = x_B$$ 即在 $S$ 系中同时发生的两个事件，在 $S’$ 系中不一定同时发生，这就是同时性的相对性。

因果律

在 $S$ 系中，事件 $A$ 发生在事件 $B$ 之前，即 $t_A < t_B$，则有 $$t’_A = \frac{t_A - \frac{u}{c^2}x_A}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} < \frac{t_B - \frac{u}{c^2}x_B}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} = t’_B$$ 即在 $S’$ 系中，事件 $A$ 同样发生在事件 $B$ 之前，这就是因果律。

相对论速度变换

相对论力学基础

相对论动量和质量

$$m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$ $$\boldsymbol{p} = \gamma m_0 \boldsymbol{v} = \frac{m_0\boldsymbol{v}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$ $$\boldsymbol{F} = \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} = m \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{v} = m\boldsymbol{a} + \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{v}$$

质能关系

相对论动能

$$\mathrm{d}A = \boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}$$ 求粒子被加速到速度 $v$ 时的动能 $$A = \int_0^v \boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{x} = \int_0^v \frac{\mathrm{d}(mv)}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}x = \int_0^v v\mathrm{d}(mv)$$ 由 $$m^2(c^2 - v^2) = m_0^2c^2$$ 得 $$2mc^2\mathrm{d}m - 2mv\mathrm{d}(mv) = 0$$ 得 $$c^2\mathrm{d}m = v\mathrm{d}(mv)$$ 代入上式得 $$A = \int_0^v v\mathrm{d}(mv) = \int_0^v c^2\mathrm{d}m = c^2(m - m_0)$$ 因此可得粒子的动能为 $$E_k = c^2(m - m_0)$$ 另外，当 $v \ll c$ 时，利用泰勒展开式可得 $$E_k = m_0c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1\right) \approx \frac{1}{2}m_0v^2$$

相对论能量

在上式中动能被表示为两项的差，其中 $m_0c^2$ 与静止质量有关，称为静止能量，用 $E_0$ 表示， $mc^2$ 与相对论质量有关，称为相对论能量或总能量，用 $E$ 表示，即
$$E = mc^2$$ 这就是爱因斯坦的质能关系。

质量和能量是物质相互联系、不可分割的两个基本属性，二者之间可以相互转化，质量可以转化为能量，能量也可以转化为质量。

静止能量是牛顿力学中没有的全新的物理概念，它表明孤立的物体即使静止也具有能量，这种能量包括物体内所有微观粒子的动能和势能等一切形式的能量，是物体内能的总和．

相对论能量守恒定律

$$\sum_i E_i = \sum_i m_ic^2 = \text{常量} \Longleftrightarrow \sum_i m_i = \text{常量}$$

能量守恒定律和质量守恒定律是等价的，二者被独立发现，在相对论中被统一起来。 但是应该明确，质量守恒指的是相对论运动质量的守恒，而不是静止质量的守恒。

质量亏损

$$E = m_0c^2 + E_k$$ 如果在一个封闭系统中发生了一个变化或反应，反应前后粒子的静止质量由 $m_{0_1}$ 变为 $m_{0_2}$，相应的动能由 $E_{k_1}$ 变为 $E_{k_2}$，则有 $$m_{0_1}c^2 + E_{k_1} = m_{0_2}c^2 + E_{k_2}$$ 即 $$\Delta m_0c^2 = \Delta E_k$$

相对论能量和动量的关系

将 $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ 代入 $E = mc^2$ 和 $p = mv$ 可得 $$E^2 = p^2c^2 + m_0^2c^4$$ 这就是相对论能量和动量之间的关系式

微观粒子的波粒二象性

光电效应-爱因斯坦光量子理论

光电效应

饱和光电流 $i_m$

当入射光强度 $I$ 一定时，光电流随加速电压 $U$ 的增大而增大，但当加速电压增大到一定值时，光电流达到最大值，此时的光电流称为饱和光电流，用 $i_m$ 表示。

饱和光电流与光强成正比，与入射光的频率无关。

截止电压 $U_a$

当加速电压减少到 $0$ 且反向变为负值时，光电流不直接变为 $0$，而是逐渐减小。

当反向电压加到一定值时，光电流变为 $0$，此时的电压称为截止电压，用 $U_a$ 表示。

$$eU_a = \frac{1}{2}m_{e}v^2_{\text{m}}$$

截止频率 $\nu_0$

当入射光的频率 $\nu$ 增大时，截止电压 $U_a$ 随之线性增大，即
$$U_a = \frac{h\nu - A}{e}$$

存在截止频率 $$\nu_0 = \frac{A}{h}$$ 当 $\nu < \nu_0$ 时，光电效应不发生。 $A$ 为逸出功。

弛豫时间

无论光强怎样微弱，光电效应滞后时间不超过 $10^{-9},\text{s}$。

与经典理论的矛盾

1. 光电子的最大初动能与入射光的频率有关，而与光强无关。
2. 当入射光的频率小于截止频率时，无论光强多大，光电效应都不发生。
3. 无论光强怎样微弱，不需要累计时间，光电效应就会立即发生。

爱因斯坦光量子理论

对于频率为 $\nu$ 的光量子，其能量 $\varepsilon$ 与频率成正比，即 $$\varepsilon = h\nu$$ 其中 $h$ 为普朗克常数。

光量子后改称为光子，沿用至今

爱因斯坦光电效应方程

$$\frac{1}{2} m_e v^2_{\text{m}} = h\nu - A$$ 式中 $A$ 为逸出功。

光的强度

$$I = Nh\nu$$ 式中 $N$ 为单位时间内通过单位面积的光子数。

光的波粒二象性

将 $\varepsilon = h\nu$ 代入 $E = mc^2$ 可得 $$m = \frac{h\nu}{c^2} = \frac{h}{c\lambda}$$
则光子的相对论动量为 $$p = mc = \frac{h\nu}{c} = \frac{h}{\lambda}$$

康普顿效应

康普顿效应

1923年，美国物理学家 阿瑟·康普顿 在观察X射线被石墨等物质散射时，发现在散射线中除有与入射波长相同的射线外，还有波长比入射波长更长的射线，这种有波长改变的散射现象称为康普顿效应。

康普顿散射公式

实验给出的波长偏移量 $\Delta\lambda$ 与散射角 $\varphi$ 之间的关系为 $$\Delta\lambda = \lambda_c(1 - \cos\varphi)$$
式中的 $\lambda_c$ 称为康普顿波长，其表达式为
$$\lambda_c = \frac{h}{m_ec} = 2.43\times10^{-12},\text{m}$$

康普顿效应与经典理论的矛盾

经典波动理论无法解释上述波长改变了的康普顿效应。 按照经典波动理论，在X射线的照射下，物质中的带电粒子将从入射光中吸收能量，做同频率的受迫振动，所辐射的电磁波的频率也应与入射光的频率相同，因而不会发生波长改变。

光量子解释

在光子射到散射体上并和某一原子中的外层电子发生碰撞过程中，电子会吸收一部分能量，脱离原子而反冲出去，称为反冲电子；所以散射光子的能量就要比入射光子的能量小，因而散射光的频率会变小，而波长会变长。

设碰撞前入射光子的频率为 $\nu_0$ ，则其能量为 $h\nu_0$ ，动量为 $p = \frac{h\nu_0}{c}$ ，其中， $\boldsymbol{e}_0$ 为入射光方向上的单位矢量； 静止的自由电子能量为 $m_ec^2$ ，动量为零。

碰撞后，散射角为 $\varphi$ 的散射光子的能量为 $h\nu$ ，动量为 $p’ = \frac{h\nu}{c} \boldsymbol{e}$ ，其中， $\boldsymbol{e}$ 为散射光方向上的单位矢量。 反冲速度为 $v$ 的电子质量为 $$m = \frac{m_e}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \tag{1}$$
能量为 $mc^2$ ，动量为 $mv$ 。

由动量守恒和能量守恒可得 $$h\nu_0 + m_ec^2 = h\nu + mc^2 \tag{2}$$ $$\frac{h\nu_0}{c}\boldsymbol{e}_0 = \frac{h\nu}{c}\boldsymbol{e} + m\boldsymbol{v} \tag{3}$$

其中下式可以写成两个分量方程 $$\frac{h\nu_0}{c} = \frac{h\nu}{c}\cos\varphi + mv\cos\theta \tag{4}$$ $$\frac{h\nu}{c}\sin\varphi = mv\sin\theta \tag{5}$$ 联立$(4)(5)$，消去 $\theta$ 可得 $$m^2v^2c^2 = h^2 \left(\nu_0^2 + \nu^2 - 2\nu_0\nu\cos\varphi\right) \tag{6}$$ 又因为 $$m^2c^4 = h^2\left(\nu_0^2+\nu^2-2\nu_0\nu\right)+m_e^2c^4+2hm_ec^2\left(\nu_0-\nu\right) \tag{7}$$

$(6)$ 式减去 $(7)$ 式，代入 $(1)$ 式可得 $$2h\nu_0\nu(1-\cos\varphi) = 2hm_ec^2(nu_0-\nu)$$

于是有 $$\Delta\lambda = \lambda - \lambda_0 = \frac{c}{\nu} - \frac{c}{\nu_0} = \frac{h}{m_ec}(1-\cos\varphi) = \lambda_c(1-\cos\varphi)$$ 与实验结果一致。

散射电子不能吸收光子

假设自由电子能够完全吸收光子，则由能量守恒定律和动量守恒定律可得 $$h\nu_0 + m_ec^2 = mc^2$$ $$\frac{h\nu_0}{c}\boldsymbol{e}_0 = mv\boldsymbol{e_0}$$ 上式与 $$m = \frac{m_e}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$ 联立可得到 $$v = c$$ 违背了相对论。

氢原子光谱-玻尔的氢原子理论

氢原子光谱

氢原子的光谱呈现分立离散的线状光谱，称为氢光谱。

用波长的倒数 $\sigma = \frac{1}{\lambda}$ 来代替光谱线的波长

谱系

$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$$

巴尔末系

式中 $R_{\infty} = 1.097 \times 10^7 , \text{m}^{-1}$ 称为里德伯常量

莱曼系

$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{1^1} - \frac{1}{n^2} \right)$$

帕邢系

$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{n^2} \right)$$

布拉开系

$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{n^2} \right)$$

普丰德系

$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{5^2} - \frac{1}{n^2} \right)$$

广义巴尔末系

$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2} \right), \quad m = 1, 2, 3, \cdots, n - 1$$

玻尔的氢原子理论

玻尔突破经典物理学的束缚，结合了经典力学和量子力学的思想，提出了氢原子的理论模型，包含下面三个假设：

1. 定态假设 一个原子系统能够并且只能经常的处于一系列特定的能量状态，这些状态称为定态。 虽然电子在绕核旋转，但是它不会辐射能量，也不会坠入核内。
2. 频率条件 电子在不同的能级之间跃迁时，辐射或者吸收的光子的频率满足 $$h\nu = \left|E_f - E_i\right|$$ 其中 $E_f$ 为最终能级， $E_i$ 为初始能级。
3. 角动量量子假设 电子以速度 $v$ 在半径为 $r$ 的圆周上绕核运动，只有电子的角动量大小 $L$ 等于 $\hbar$ 的整数倍的那些轨道是稳定的，即 $$L = m_evr = n\hbar$$ 其中 $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ 为约化普朗克常数， $n$ 为量子数， $n = 1, 2, 3, \cdots$

氢原子的能量公式

从这些假设出发，可以推导出氢原子的能量公式 $$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2} = m_e \frac{v^2}{r}$$ $$r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_ee^2}n^2$$ 当 $n = 1$ 时，轨道半径最小为 $a_0 = 0.529 \times 10^{-10} , \text{m}$，称为玻尔半径。

电子在某一定态轨道上运动时，氢原子系统的总能量即定态能量为 $$E = E_k + E_p = \frac{1}{2} m_e v^2 - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}$$

将 $r_n$ 代入上式可得 $$E_n = -\frac{e^2}{2\left(4\pi\varepsilon_0\right)r_n} = -\frac{m_ee^4}{2\left(4\pi\varepsilon_0\right)^2\hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2} = -\frac{13.6}{n^2} , \text{eV}$$

其中 $n$ 只能取一系列正整数，称为主量子数。

$n = 1$ 时，称为基态， $n = 2, 3, 4, \cdots$ 时，称为激发态。 $E_1 = -13.6 , \text{eV}$，氢原子的电离能 $E_i = E_{\infty} - E_1 = 13.6 , \text{eV}$

类氢离子的能级公式

类氢离子如 $He^+$，$Li^{2+}$ 等的能级公式为 $$E_n = -\frac{m_ee^4}{2\left(4\pi\varepsilon_0\right)^2\hbar^2} \cdot \frac{Z}{n^2} = -\frac{13.6Z}{n^2} , \text{eV}$$ 其中 $Z$ 为核电荷数。

光子的频率与波长

$$\nu = \frac{E_n - E_m}{h} = \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2 \frac{m_ee^4}{4\pi\hbar^3} \left(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}\right)$$

$$\sigma = \frac{1}{\lambda} = \frac{\nu}{c} = \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\frac{m_ee^4}{4\pi\hbar^3c} \left(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}\right)$$ 与广义巴尔末系的公式相同。可得里德堡常量 $$R_{\infty} = \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\frac{m_ee^4}{4\pi\hbar^3c} = 1.097 \times 10^7 , \text{m}^{-1}$$

粒子的波动性

德布罗意波

一个质量为 $m$ 、速度为 $v$ 的粒子，既具有以能量 $E$ 和 动量 $p$ 描述的 粒子性，又具有以波长 $\lambda$ 和频率 $\nu$ 描述的 波动性。这种波动性称为 德布罗意波。

他们之间的关系与光波的关系类似，即： $$\nu = \frac{E}{h} = \frac{mc^2}{h}$$ $$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$ 其中 $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ 为粒子的运动质量。 上式称为 德布罗意关系。
$\lambda$ 称为 德布罗意波长， $\nu$ 称为 德布罗意频率。

波函数

根据量子力学的基本假设，粒子的波动性表现为 概率波。
概率波的振幅的平方表示粒子在某一位置出现的概率密度。概率波的波函数通常用 $\psi$ 表示，其满足薛定谔方程：

$$ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi $$

其中 $\hbar$ 是约化普朗克常数，$\hat{H}$ 是哈密顿算符。

波函数的物理意义

波函数 $\psi$ 的绝对值的平方 $|\psi|^2$ 表示粒子在某一位置出现的概率密度。波函数的相位则与粒子的动量和能量有关。

归一化条件

为了保证粒子在整个空间内出现的概率为1，波函数 $\psi$ 必须满足归一化条件：

$$ \int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2 , dx = 1 $$

叠加原理

量子力学中的波函数可以叠加，即如果 $\psi_1$ 和 $\psi_2$ 是两个可能的波函数，那么它们的线性组合 $\psi = c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2$ 也是一个可能的波函数，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是常数。

测量与坍缩

在量子力学中，对粒子的测量会导致波函数的坍缩，即波函数会瞬间变为测量结果对应的本征态。这一过程称为波函数坍缩。

自由粒子的波函数

自由粒子的波函数为平面波，即 $\psi = A e^{i(kx - \omega t)}$，其中 $A$ 为常数，$k$ 为波数，$\omega$ 为角频率。 用德布罗意关系可得： $$ k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{p}{\hbar} $$ $$ \omega = 2\pi \nu = \frac{E}{\hbar} $$ 因此，自由粒子的波函数可表示为： $$ \psi = A e^{\frac{i}{\hbar}(px - Et)} $$ 其中 $A$ 为常数。 对于三维空间中的自由粒子，波函数为： $$ \psi = A e^{\frac{i}{\hbar}(\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} - Et)} $$

其中 $\boldsymbol{p}$ 为动量，$\boldsymbol{r}$ 为位置矢量。 $$\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} = p_x x + p_y y + p_z z$$ 在非相对论情况下，自由粒子的能量为： $$E = \frac{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}{2m}$$

不确定关系

不确定关系

$$\begin{aligned} \Delta x \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} \newline \Delta y \Delta p_y \geq \frac{\hbar}{2} \newline \Delta z \Delta p_z \geq \frac{\hbar}{2} \newline \Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} \end{aligned}$$

薛定谔方程及其应用

薛定谔方程

一般形式的薛定谔方程

$$\hat{H}\varPsi=i\hbar\frac{\partial\varPsi}{\partial t}$$
其中 $\hat{H}$ 是哈密顿算符，$\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U$ ， $U$ 是势能函数。
对于一维情况，薛定谔方程的一般形式为
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varPsi}{\partial x^2}+U\varPsi=i\hbar\frac{\partial\varPsi}{\partial t}$$

定态薛定谔方程

对于定态，即 $\varPsi(x,t)=\psi(x)e^{-iEt/\hbar}$ ，概率密度 $|\varPsi|^2=\varPsi^*\varPsi = |\psi|^2$ 不随时间变化。
代入薛定谔方程得到
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+U\psi=E\psi$$
即
$$\hat{H}\psi=E\psi$$
称为 $\hat{H}$ 的本征方程， $\psi$ 为本征函数， $E$ 为本征值。

$E=\displaystyle{\frac{p^2}{2m}} + U$ ， $p$ 为动量。 即能量为动能和势能之和。

一维无限深势阱

一维无限深势阱的势能函数为
$$U(x)=\begin{cases}0, & 0<x<a \newline +\infty, & \text{其他}\end{cases}$$
波函数为
$$\psi(x)=\begin{cases}\displaystyle{\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{n\pi x}{a}}, & 0<x<a \newline 0, & \text{其他}\end{cases}$$
由定态薛定谔方程得到能量本征值
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}=E\psi$$
$$E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$$
由
$$E_n=\frac{p_n^2}{2m}$$
得到动量本征值
$$p_n=\frac{n\pi\hbar}{a} = \frac{h}{2a}n$$
故波长为
$$\lambda_n=\frac{h}{p_n}=\frac{2a}{n}$$

一维谐振子

一维谐振子的势能函数为
$$U(x)=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}m\omega^2x^2$$
求得能级公式为
$$E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)=\left(n+\frac{1}{2}\right)h\nu$$

其中基态能量为
$$E_0=\frac{1}{2}h\nu$$
称为零点能。

谐振子的最低能量不等于零，即它永远不能静止不动。

势垒穿透

在势能有限的情况下,微观粒子可以穿过势垒到达另一侧，称“隧道效应”。

原子中的电子

氢原子

四个量子数

氢原子的波函数由四个量子数确定：主量子数 $n$、角量子数 $l$、磁量子数 $m$ 和自旋量子数 $s$。

主量子数-能量量子化

主量子数 $n$ 决定了 能级 的大小，取值范围为 $n = 1, 2, 3, \cdots$。 $$E_n = -\frac{e^2}{2\left(4\pi\varepsilon_0\right)r_n} = -\frac{m_ee^4}{2\left(4\pi\varepsilon_0\right)^2\hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2} = -\frac{13.6}{n^2} , \text{eV}$$

角量子数-角动量量子化

角量子数 $l$ 决定了轨道的形状，取值范围为 $l = 0, 1, 2, \cdots, n-1$。
用 $L$ 表示角动量的大小，有
$$L = \sqrt{l\left(l+1\right)}\hbar$$

磁量子数-角动量空间取向量子化

磁量子数 $m_l$ 决定了轨道的空间方向，取值范围为 $m_l = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots, \pm l$。 轨道角动量在 $z$ 方向的投影为 $$L_z = m_l\hbar$$

自旋量子数与自旋磁量子数-自旋量子化

自旋量子数 $s$ 决定了电子的自旋方向，只能取 $s = \frac{1}{2}$ $$S = \sqrt{s\left(s+1\right)}\hbar = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar$$ 自旋磁量子数 $m_s$ 决定了自旋在 $z$ 方向的投影，取值范围为 $m_s = \pm \displaystyle{\frac{1}{2}}$。 $$S_z = m_s\hbar$$

总角动量

$$\boldsymbol{J} = \boldsymbol{L} + \boldsymbol{S}$$ $$J = \sqrt{j\left(j+1\right)}\hbar$$ 其中 $j = \begin{cases}l+\frac{1}{2}, & \text{当} l = 0, 1, 2, \cdots, n-1 \newline l-\frac{1}{2}, & \text{当} l = 1, 2, \cdots, n-1\end{cases}$

氢原子波函数

氢原子波函数的一般形式为： $$\varPsi_{n,l,m} = R_{n,l}(r) Y_{l,m_l}(\theta, \phi)$$ 其中 $R_{n,l}(r)$ 为径向波函数，$Y_{l,m_l}(\theta, \phi)$ 为球谐函数。

能量最低原理

原子处于正常状态时，其中电子都要占据最低能级。 判断能级高低的经验公式： $$n + 0.7l$$ 其值越小，能级越低。

例如：

• $4s$ ($l=0$) 能级：$n + 0.7l = 4 + 0.7 \times 0 = 4$
• $3d$ ($l=2$) 能级：$n + 0.7l = 3 + 0.7 \times 2 = 4.4$
  可以解释电子先填充 $4s$ 而不是 $3d$。

泡利不相容原理

一个原子中的电子总是倾向于占据能量最低的轨道，而且每个轨道最多只能容纳两个电子，且这两个电子的自旋量子数必须相反。

壳层

$n$ 相同的可能电子态构成一个壳层。
$n = 1, 2, 3, \cdots$ 表示为 $K, L, M, N, O, P, \cdots $ $n$ 壳层最多容纳的电子数为 $2n^2$。

支壳层

($n$ 相同), $l$ 相同的可能电子态构成一个支壳层。
$l = 0, 1, 2, \cdots$ 表示为 $s, p, d, f, g, h, \cdots$
$l$ 支壳层最多容纳的电子数为 $2(2l+1)$。