相对论动量和质量

$$m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$ $$\boldsymbol{p} = \gamma m_0 \boldsymbol{v} = \frac{m_0\boldsymbol{v}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$ $$\boldsymbol{F} = \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} = m \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{v} = m\boldsymbol{a} + \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{v}$$

质能关系

相对论动能

$$\mathrm{d}A = \boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}$$ 求粒子被加速到速度 $v$ 时的动能 $$A = \int_0^v \boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{x} = \int_0^v \frac{\mathrm{d}(mv)}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}x = \int_0^v v\mathrm{d}(mv)$$ 由 $$m^2(c^2 - v^2) = m_0^2c^2$$ 得 $$2mc^2\mathrm{d}m - 2mv\mathrm{d}(mv) = 0$$ 得 $$c^2\mathrm{d}m = v\mathrm{d}(mv)$$ 代入上式得 $$A = \int_0^v v\mathrm{d}(mv) = \int_0^v c^2\mathrm{d}m = c^2(m - m_0)$$ 因此可得粒子的动能为 $$E_k = c^2(m - m_0)$$ 另外，当 $v \ll c$ 时，利用泰勒展开式可得 $$E_k = m_0c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1\right) \approx \frac{1}{2}m_0v^2$$

相对论能量

在上式中动能被表示为两项的差，其中 $m_0c^2$ 与静止质量有关，称为静止能量，用 $E_0$ 表示， $mc^2$ 与相对论质量有关，称为相对论能量或总能量，用 $E$ 表示，即
$$E = mc^2$$ 这就是爱因斯坦的质能关系。

质量和能量是物质相互联系、不可分割的两个基本属性，二者之间可以相互转化，质量可以转化为能量，能量也可以转化为质量。

静止能量是牛顿力学中没有的全新的物理概念，它表明孤立的物体即使静止也具有能量，这种能量包括物体内所有微观粒子的动能和势能等一切形式的能量，是物体内能的总和．

相对论能量守恒定律

$$\sum_i E_i = \sum_i m_ic^2 = \text{常量} \Longleftrightarrow \sum_i m_i = \text{常量}$$

能量守恒定律和质量守恒定律是等价的，二者被独立发现，在相对论中被统一起来。 但是应该明确，质量守恒指的是相对论运动质量的守恒，而不是静止质量的守恒。

质量亏损

$$E = m_0c^2 + E_k$$ 如果在一个封闭系统中发生了一个变化或反应，反应前后粒子的静止质量由 $m_{0_1}$ 变为 $m_{0_2}$，相应的动能由 $E_{k_1}$ 变为 $E_{k_2}$，则有 $$m_{0_1}c^2 + E_{k_1} = m_{0_2}c^2 + E_{k_2}$$ 即 $$\Delta m_0c^2 = \Delta E_k$$

相对论能量和动量的关系

将 $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ 代入 $E = mc^2$ 和 $p = mv$ 可得 $$E^2 = p^2c^2 + m_0^2c^4$$ 这就是相对论能量和动量之间的关系式