氢原子光谱
氢原子的光谱呈现分立离散的线状光谱，称为氢光谱。
用波长的倒数 $\sigma = \frac{1}{\lambda}$ 来代替光谱线的波长
谱系
$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$$
巴尔末系
式中 $R_{\infty} = 1.097 \times 10^7 , \text{m}^{-1}$ 称为里德伯常量
莱曼系
$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{1^1} - \frac{1}{n^2} \right)$$
帕邢系
$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{n^2} \right)$$
布拉开系
$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{n^2} \right)$$
普丰德系
$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{5^2} - \frac{1}{n^2} \right)$$
广义巴尔末系
$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2} \right), \quad m = 1, 2, 3, \cdots, n - 1$$
玻尔的氢原子理论
玻尔突破经典物理学的束缚，结合了经典力学和量子力学的思想，提出了氢原子的理论模型，包含下面三个假设：
- 定态假设 一个原子系统能够并且只能经常的处于一系列特定的能量状态，这些状态称为定态。 虽然电子在绕核旋转，但是它不会辐射能量，也不会坠入核内。
- 频率条件 电子在不同的能级之间跃迁时，辐射或者吸收的光子的频率满足 $$h\nu = \left|E_f - E_i\right|$$ 其中 $E_f$ 为最终能级， $E_i$ 为初始能级。
- 角动量量子假设 电子以速度 $v$ 在半径为 $r$ 的圆周上绕核运动，只有电子的角动量大小 $L$ 等于 $\hbar$ 的整数倍的那些轨道是稳定的，即 $$L = m_evr = n\hbar$$ 其中 $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ 为约化普朗克常数， $n$ 为量子数， $n = 1, 2, 3, \cdots$
氢原子的能量公式
从这些假设出发，可以推导出氢原子的能量公式 $$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2} = m_e \frac{v^2}{r}$$ $$r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_ee^2}n^2$$ 当 $n = 1$ 时，轨道半径最小为 $a_0 = 0.529 \times 10^{-10} , \text{m}$，称为玻尔半径。
电子在某一定态轨道上运动时，氢原子系统的总能量即定态能量为 $$E = E_k + E_p = \frac{1}{2} m_e v^2 - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}$$
将 $r_n$ 代入上式可得 $$E_n = -\frac{e^2}{2\left(4\pi\varepsilon_0\right)r_n} = -\frac{m_ee^4}{2\left(4\pi\varepsilon_0\right)^2\hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2} = -\frac{13.6}{n^2} , \text{eV}$$
其中 $n$ 只能取一系列正整数，称为主量子数。
$n = 1$ 时，称为基态， $n = 2, 3, 4, \cdots$ 时，称为激发态。 $E_1 = -13.6 , \text{eV}$，氢原子的电离能 $E_i = E_{\infty} - E_1 = 13.6 , \text{eV}$
类氢离子的能级公式
类氢离子如 $He^+$，$Li^{2+}$ 等的能级公式为 $$E_n = -\frac{m_ee^4}{2\left(4\pi\varepsilon_0\right)^2\hbar^2} \cdot \frac{Z}{n^2} = -\frac{13.6Z}{n^2} , \text{eV}$$ 其中 $Z$ 为核电荷数。
光子的频率与波长
$$\nu = \frac{E_n - E_m}{h} = \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2 \frac{m_ee^4}{4\pi\hbar^3} \left(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}\right)$$
$$\sigma = \frac{1}{\lambda} = \frac{\nu}{c} = \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\frac{m_ee^4}{4\pi\hbar^3c} \left(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}\right)$$ 与广义巴尔末系的公式相同。可得里德堡常量 $$R_{\infty} = \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\frac{m_ee^4}{4\pi\hbar^3c} = 1.097 \times 10^7 , \text{m}^{-1}$$