毕奥-萨伐尔定律

真空中电流元产生的磁感应强度为：

$$d\boldsymbol{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{e_r}}{r^2}$$

其中， $\mu_0$ 为 真空磁导率，其值为 $4\pi \times 10^{-7} , \text{T} \cdot \text{m} / \text{A}$。

则 $d\boldsymbol{B}$ 的大小为 $$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Idl \sin \theta}{r^2}$$ 其中， $\theta$ 为 $d\boldsymbol{l}$ 与 $\boldsymbol{e_r}$ 的夹角。

因此电流元产生的磁场与电流元的大小成正比，与距离的平方成反比。
和库仑定律一样满足反比平方定律。方向由右手螺旋定则确定。

毕奥-萨伐尔定律的应用

直导线

在真空中有一段长为 $L$ 的直导线，电流为 $I$。场点 $P$ 到直导线的垂直距离为 $a$，两端与电流方向的夹角分别为 $\theta_1$ 和 $\theta_2$。 $$B = \int dB = \frac{\mu_0}{4\pi} I \int \frac{dl \sin \theta}{r^2}$$ 其中 $r$ = $\frac{a}{\sin \theta}$，$l = -a \cot \theta$，则 $dl = \frac{a}{\sin^2 \theta} d\theta$。将 $l$ 和 $dl$ 代入上式，得 $$\begin{aligned}s B &= \frac{\mu_0}{4\pi} I \int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{ \sin \theta}{a^2 / \sin^2 \theta} \frac{a}{\sin^2 \theta} d\theta \newline &= \frac{\mu_0}{4\pi a} I \int_{\theta_1}^{\theta_2} d\theta = \frac{\mu_0}{4\pi a} I \left(\cos \theta_1 - \cos \theta_2\right)\end{aligned}$$

无限长直导线
- $\theta_1 = 0$
- $\theta_2 = \pi$
- $B = \frac{\mu_0}{2\pi a} I$
半无限长直导线
- $\theta_1 = \frac{\pi}{2}$
- $\theta_2 = \pi$
- $B = \frac{\mu_0}{4\pi a} I$
导线延长线上的磁场
- $\theta_1 = \theta_2 = \pi$
- $B = 0$

载流圆线圈轴线上的磁场

在真空中有一半径为 $R$，载流量为 $I$ 的圆线圈，场点 $P$ 在圆线圈轴线上，到圆线圈中心的距离为 $x$。

$$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Idl}{r^2}$$ 有 $$dB_{\parallel} = dB \sin \theta$$ $$dB_{\perp} = dB \cos \theta$$ 由于对称性，$dB_{\perp}$ 的积分为零，只需计算 $dB_{\parallel}$ 的积分。 $$B = \int dB_{\parallel} = \frac{\mu_0}{4\pi} I \int \frac{dl \sin \theta}{r^2}$$ 式中 $\sin \theta = \frac{R}{r}$

$$B = \frac{\mu_0 IR}{4\pi r^3} \int_0^{2\pi R} dl = \frac{\mu_0 IR^2}{2 r^3}$$ 由于 $r^2 = R^2 + x^2$，则 $$B = \frac{\mu_0 IR^2}{2 (R^2 + x^2)^{3/2}}$$ 方向满足右手螺旋定则关系。

若 $x = 0$，即场点在圆线圈中心，则 $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$
若载流导线为一段圆弧，则在其圆心处产生的磁场 $B = \frac{\mu_0 I}{2R} \frac{\theta}{2\pi}$
若 $x \gg R$，则 $B = \frac{\mu_0 IR^2}{2x^3}$

磁偶极子

定义圆电流的磁矩为 $$\boldsymbol{m} = I \boldsymbol{S}$$ 单位为 $\text{A} \cdot \text{m}^2$。

由于 $S = \pi R^2$，结合载流圆线圈轴线上的磁场公式，得
$$\boldsymbol{B} = \frac{\mu_0 \boldsymbol{m}}{2\pi x^3}$$ 该式与静电场中的电偶极子的电场强度表达式相似，而且磁感应线分布也与电偶极子的电场线分布相似，因此我们将圆电流称为磁偶极子。

载流直螺线管轴线上的磁场

可以视作无限多个载流圆线圈的叠加设 $P$ 为轴线上一点，到螺线管一端的距离为 $x$，螺线管的半径为 $R$，载流量为 $I$，单位长度上有 $n$ 匝

$$dB = \frac{\mu_0}{2} \frac{R^2 dI}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0}{2} \frac{R^2 n I dx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$$ $$B = \int dB = \int \frac{\mu_0}{2} \frac{R^2 n I dx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$$

到螺线管某个微分点的距离为 $r$，夹角为 $\theta$
根据几何关系知： $$r^2 = R^2 + x^2, \quad r \sin \theta = R, \quad x = \frac{R}{\tan \theta}, dx = \frac{R d\theta}{\sin^2 \theta}$$

代入上式，得 $$dB = \frac{\mu_0}{2} \frac{R^2 n I}{(R / \sin \theta)^3} \frac{R d\theta}{\sin^2 \theta} = \frac{\mu_0}{2} n I \sin \theta d\theta$$

故得 $P$ 点的磁场为
$$B = \frac{\mu_0}{2} n I \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin \theta d\theta = \frac{\mu_0}{2} n I (\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$$

当 $L \gg R$ 时，螺线管近似为无限长，即 $\theta_1 = \pi$，$\theta_2 = 0$，则 $B = \mu_0 n I$
若 $P$ 点在任意一端的中心口处，且 $L \gg R$，则有 $\theta_1 = \pi / 2$， $\theta_2 = 0$ 或 $\theta_1 = \pi$， $\theta_2 = \pi / 2$，则 $B = \frac{\mu_0}{2} n I$

可见半无限长螺线管的磁场强度是无限长螺线管磁场强度的一半。