法拉第电磁感应定律
法拉第电磁感应定律
$$\mathcal{E} = -\frac{d\varPhi}{dt}$$ 以上公式称为 法拉第电磁感应定律 ，其中 $\mathcal{E}$ 为感应 电动势 ，$\varPhi$ 为 磁通量 。
$$\varPsi = \sum_{i=1}^N \varPhi_i = \sum_{i=1}^N \int \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S}$$
若每一匝线圈的磁通量 $\varPhi_i$ 都相等，则有
$$\varPsi = N\varPhi$$
$\varPsi$ 称为 磁链
感应电动势和电流的方向满足右手螺旋定则。
楞次定律
通量表达
闭合回路中的感应电流的方向，总是使它所激发的磁场穿过回路自身的磁通量阻碍原磁通量的变化。
力表达
运动导体上的感应电流的安培力总是阻碍导体的运动。
动生电动势和感生电动势
动生电动势
定义
在电磁感应中，单纯由导体在磁场中运动产生的电动势称为 动生电动势。
计算方法
在导体棒 $ab$ 中产生的动生电动势应等于将单位正电荷从从导体棒的负极 $b$ 移动到正极 $a$ 时所做的功
$$\boldsymbol{E}_k = \frac{\boldsymbol{F}}{q} = \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$$
$$d\mathcal{E} = \boldsymbol{E}_k \cdot d\boldsymbol{l} = \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l}$$
$$\mathcal{E} = \int \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l} = Blv\sin\theta$$
- 若计算出的电动势为正，则电流方向与选取的方向一致；
- 若计算出的电动势为负，则电流方向与选取的方向相反。
能量起源
产生动生电动势的非静电起源是 洛伦兹力 而洛伦兹力是不做功的，但感应电动势可以输出电功，是否矛盾？ 洛伦兹力的功率是 $$\begin{aligned}P_L = \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{v} &= \left(\boldsymbol{F}_L + \boldsymbol{F}_L’ \right) \cdot \left(\boldsymbol{v} + \boldsymbol{v}’ \right) \newline &= e\boldsymbol{v}B\boldsymbol{v}’ - e\boldsymbol{v}‘B\boldsymbol{v} = 0\end{aligned}$$ 洛伦兹力的功率为零
所有电子宏观的运动导致了
安培力
的做功
由于安培力会阻碍导体棒的运动，要以恒定速度 $v$ 将导体棒移动，需要外力做功
$$P_{ext} = \boldsymbol{F}_{ext} \cdot \boldsymbol{v} = \boldsymbol{B} I \times \boldsymbol{L} \cdot \boldsymbol{v} = \mathcal{E} I$$
电动势的功率等于外力做功的功率，电能来源是外力克服安培力做功
感生电动势
定义
导体回路静止不动，导体回路中的磁通量随时间变化而产生的电动势称为 感生电动势。
计算方法
$$\mathcal{E} = -\frac{d\varPhi}{dt} = \int_S \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S}$$
能量起源
麦克斯韦猜想，变化的磁场会产生电场，感生电动势的能量来源是磁场的变化
$$\mathcal{E} = \oint_L \boldsymbol{E}_k \cdot d\boldsymbol{l} = -\frac{d\varPhi}{dt}$$
法拉第电磁感应定律的另一种表述
$$\mathcal{E} = \oint_L \left(\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} + \boldsymbol{E}_k \right) \cdot d\boldsymbol{l} = -\frac{d\varPhi}{dt}$$
感生电场
$$\oint_L \boldsymbol{E}_k \cdot d\boldsymbol{l} = -\int_S \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S}$$ 可以看出，感生电场的环流可以不为零。 可以证明，感生电场线是无头无尾的闭合曲线。 因此有 $$\oint_S \boldsymbol{E}_k \cdot d\boldsymbol{S} = 0$$ 此式称为感生电场的高斯定理。
总电场
| 静电场 $E_{\text{静}}$ | 感生电场 $E_k$ | |
|---|---|---|
| 场源 | 静止的电荷 | 变化的 磁场 |
| 电场线 | 起始于正电荷，终止于负电荷 | 无头无尾的变化曲线 |
| 环路定理 | $$\oint_L \boldsymbol{E}_{\text{静}} \cdot d\boldsymbol{l} = 0$$ | $$\oint_L \boldsymbol{E}_k \cdot d\boldsymbol{l} = -\int_S \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S}$$ |
| 高斯定理 | $$\oint_S \boldsymbol{E}_{\text{静}} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{Q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}$$ | $$\oint_S \boldsymbol{E}_k \cdot d\boldsymbol{S} = 0$$ |
| 电场性质 | 保守场，无旋 | 非保守场，有旋 |
可以根据上面的性质推出总电场的环路定理和高斯定理。
即
$$\oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{Q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}$$
$$\oint_L \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = -\frac{d\varPhi}{dt}$$
以上两式就是麦克斯韦方程组中关于电场的两个基本方程。
感生电场的方向
感生电场的方向就是感生电动势和感生电流的方向。
负号代表的含义就是反抗磁场的变化。
满足左手螺旋定则。
涡电流及电磁阻尼
当大块金属处在变化的磁场中或在磁场中运动时，在其内部会出现涡旋形状的感生电流，称为涡电流。
涡电流的热效应
涡流会产生大量的热，广泛用于电磁炉。
为了避免涡电流的热效应，常常采取多个硅钢片叠加的方法，使涡流被限制在单个绝缘的硅钢片中，从而减小涡电流的热效应。
涡电流的机械效应
常用于电磁阻尼器，如电磁制动器。
也可以用于电磁驱动，当磁场在运动的时候，导体会跟随磁场运动，交流感应电动机就是利用这个原理。
涡电流的电磁效应
金属探测器就是利用涡电流的电磁效应来探测金属的。
涡流也会产生磁场，这个磁场会反过来影响外部磁场，从而影响感应电动势，达到探测金属的目的。
自感与互感
自感
定义
当线圈中有电流 $I$ 通过时，电流 $I$ 所产生的磁场 $B$ 在线圈自身回路中也会产生磁通量 $\varPsi$，当电流 $I$ 随时间变化时，根据法拉第电磁感应定律，线圈在自身回路中会产生感应电动势 $\mathcal{E}$。
激发感应电动势的现象称为 自感，相应的感应电动势称为 自感电动势。
自感系数
根据 毕奥-萨伐尔定律 知，电流在空间中产生的磁场 $B$ 与电流 $I$ 成正比，故其产生的全磁通 $\varPsi$ 与电流 $I$ 成正比，即 $$\varPsi = L I$$ 其中 $L$ 为线圈的自感系数，单位为亨利（H）。 $$1 \mathrm{H} = 1 \mathrm{Wb/A} = 1 \mathrm{V \cdot s/A}$$
自感系数只与线圈本身的几何形状和材料有关，与电流的大小和方向无关。
$$B = \mu \frac{N}{l} I$$ $$\varPsi = \int B \cdot dS = \mu \frac{N}{l} I S$$ $$L = \frac{\varPsi}{I} = \mu \frac{N^2}{l} S = \mu n^2 V$$
自感电动势
当电流发生变化时，线圈中产生的感应电动势 $\mathcal{E}_L$ 为 $$\mathcal{E}_L = -L \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}$$ 负号代表自感电动势的方向总是阻碍电流的变化。
互感
当两个彼此靠近的线圈，当其中一个线圈中有电流 $I_1$ 通过时，会在另一个线圈中产生感应电动势 $\mathcal{E}_2$ 的现象称为 互感，相应的感应电动势称为 互感电动势。
互感系数
$$\varPsi_{21} = M_{21} I_1$$ $$\varPsi_{12} = M_{12} I_2$$
可以证明 $$M_{21} = M_{12} = M$$ 其中 $M$ 为两个线圈的互感系数，单位为亨利（H）。
互感电动势
当电流发生变化时，线圈中产生的感应电动势 $\mathcal{E}_M$ 为 $$\mathcal{E}_{21} = -\frac{d\varPsi_{21}}{dt} = -M \frac{dI_1}{dt}$$ $$\mathcal{E}_{12} = -\frac{d\varPsi_{12}}{dt} = -M \frac{dI_2}{dt}$$
磁场的能量和能量密度
自感感能
与 电容器 类似，线圈中也可以储存能量。 当自感系数为 $L$ 的线圈中通过电流 $I$ 时，线圈中的磁场能量为 $$W = \frac{1}{2} L I^2$$
载流线圈中储存的能量称为 自感感能。
磁场的能量密度
在通电螺线管中 $$W_m = \frac{1}{2} L I^2 = \frac{1}{2} \mu n^2 I^2 V = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu} V$$ 故磁场的能量密度为 $$w_m = \frac{W_m}{V} = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu}$$ 考虑到磁感应强度 $B$ 和磁场强度 $H$ 的关系 $$B = \mu H$$ 可得 $$w_m = \frac{1}{2} B H = \frac{1}{2} \mu H^2 = \frac{1}{2} \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{H}$$
虽然这条公式是从通电螺线管的能量公式推导出来的，但是可以证明，他对任何磁场都是普遍成立的。
磁场能量和电场能量的对比
| 存储在电容或电感中的能量 | 存储在电场或磁场中的能量 | |
|---|---|---|
| 电场能量 | $$W_e = \frac{1}{2} CU^2$$ | $$w_e = \frac{1}{2} \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E}$$ $$W_e = \int_V w_e dV$$ |
| 磁场能量 | $$W_m = \frac{1}{2} L I^2$$ | $$w_m = \frac{1}{2} \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{H}$$ $$W_m = \int_V w_m dV$$ |
若空间中既有电场又有磁场，则总能量密度为 $$w = w_e + w_m = \frac{1}{2} \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E} + \frac{1}{2} \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{H}$$
麦克斯韦方程组与电磁波
位移电流
在
安培环路定理
中
有以下公式
$$\oint_L \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = \sum I_{\text{0内}}$$
其中 $\sum I_{\text{0内}}$ 是通过环路 $L$ 内的电流之和，可以通过
电流密度
$\boldsymbol{J_c}$ 来表示
即
$$\oint_L \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = \int_S \boldsymbol{J_c} \cdot d\boldsymbol{S}$$
这一安培环路定理只适用于稳定电流
当非稳定电流通过导体时，导体内部会产生位移电流，即由于电场的变化而产生的电流
使用
高斯定理
可以得到
$$\boldsymbol{J_d} = \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}$$
$$I_d = \int_S \boldsymbol{J_d} \cdot d\boldsymbol{S} = \int_S \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{d\Phi_d}{dt}$$
其中 $\Phi_d$ 电位移通量， $\boldsymbol{D}$ 电位移矢量
称 $\boldsymbol{J_d}$ 为位移电流密度， $I_d$ 为位移电流
$$\oint_{S_1} \boldsymbol{J_c} \cdot d\boldsymbol{S} + \oint_{S_2} \boldsymbol{J_d} \cdot d\boldsymbol{S} = 0$$ 即，流入曲面 $S_1$ 的传导电流等于流出曲面 $S_2$ 的位移电流
安培环路定理的普遍表达式
$$\oint_L \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = I_c + I_d = \int_S \left(\boldsymbol{J_c} + \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol{S}$$
上式是安培环路定理的普遍表达式，表明磁场强度 $\boldsymbol{H}$ 沿任意闭合回路的环流等于穿过以回路为边界的任意曲面的传导电流和位移电流之和
就磁效应而言，位移电流和传导电流是等效的，都是磁场的源 但是二者本质上是不同的，传导电流是由导体中电荷的移动产生的，而位移电流是由电场的变化产生的，无论是否有导体存在，只要电场的变化，就会产生位移电流
麦克斯韦方程组
$$\begin{aligned} \oint_S \boldsymbol{D} \cdot d\boldsymbol{S} &= \int_V \rho dV = q_0 \newline \oint_L \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} &= -\int_S \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S} \newline \oint_S \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S} &= 0 \newline \oint_L \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} &= I_c + \int_S \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \nabla \cdot \boldsymbol{D} &= \rho \newline \nabla \times \boldsymbol{E} &= -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \newline \nabla \cdot \boldsymbol{B} &= 0 \newline \nabla \times \boldsymbol{H} &= \boldsymbol{J} + \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \newline \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \boldsymbol{D} &= \varepsilon \boldsymbol{E} \newline \boldsymbol{B} &= \mu \boldsymbol{H} \newline \boldsymbol{J} &= \sigma \boldsymbol{E} \end{aligned}$$
$$\boldsymbol{F}_L = q(\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})$$