静电场中的导体

导体的静电平衡条件

静电平衡的定义

在电场作用下，导体上的电荷发生重新分布现象，称为静电感应现象。

自由电子不再做定向移动，导体两端的正负电荷不再增加，电场分布也不随时间变化，称为静电平衡。

静电平衡的条件

$$\boldsymbol{E_{\text{内}}}=0, \quad \boldsymbol{E_S} \perp \text{导体表面}$$

电势表述形式

在导体内任意两点间的电势差为0，即$\Delta V = 0$。 导体表面是等势面，导体是电势相等的等势体。

静电平衡时导体上的电荷分布

1. 静电平衡时，导体上的电荷只能分布在表面上，其内部没有净电荷。
   • 采用高斯定理证明：内部电场强度为零故内部无净电荷。

• 静电平衡时，若导体空腔内无带电体，空腔导体上的电荷只能分布在空腔导体的外表面。
• 静电平衡时，若导体空腔内有带电体，空腔导体上的电荷只能分布在空腔导体的内外表面上。

3. 在静电平衡时，导体表面外紧邻处的电场强度大小 $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$，方向垂直于导体表面。
   • 当导体某处带正电时，该处的电场强度方向垂直表面向外。
   • 当导体某处带负电时，该处的电场强度方向垂直表面向内。
   • 导体表面外紧邻处某点的电场并非仅仅由该点的电荷决定，而是由导体表面上所有电荷决定的。
   • 无限大带电平面的电场强度大小 $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$，是因为其场强均匀分布在两侧，故为原来的一半。

4. 孤立导体处于静电平衡时，导体表面上的电荷面密度 $\sigma_e$ 仅由表面的形状和导体上的电荷总量决定。

静电屏蔽

1. 腔内空间的电场
   • 若腔内无带电体，导体内部和腔内空间的电场强度均为零。不论导体是否带电以及外界是否有电场。
   • 若腔内有带电体，空腔内的电场仅由腔内带电体决定，与外界电场无关。 总之，空腔导体都能使腔内空间的电场强度为零。该现象称为静电屏蔽。
2. 腔外空间的电场
   • 若导体不接地，腔内带电体会在外表面感应出等量的电荷，并在腔外产生电场。
   • 若导体接地，腔内带电体会在外表面感应出等量的电荷，但外表面的电荷会流入地，故腔外不会产生电场。如果导体外有电场，导体的外表面也会感应出电荷，不会流入大地。但是腔内带电体无法影响腔外。 接地能够使腔外电场不受腔内带电体的影响，这种现象称为接地屏蔽。

导体存在时静电场量的计算

主要用到高斯定理和导体内部电场强度为零的性质。

注意点

1. 通常规定大地和无限远处的电势为零，接地的导体的电势无论电场分布如何，都为零。
2. 导体接地并不意味导体表面电荷全部消失。
3. 电场中任意一点的电势都是所有电荷共同贡献的结果。导体接地时，电势为零也是所有电荷共同贡献的结果。

静电场中的电介质

电介质对电场的影响

在平行板间充入电介质的时候，电势差和电场都会变小，并且有如下关系： $$U = \frac{U_0}{\varepsilon_r}, \quad E = \frac{E_0}{\varepsilon_r}$$ 其中，$U_0$ 和 $E_0$ 分别是真空中的电势差和电场强度，$\varepsilon_r$ 是电介质的相对介电常数，除真空中 $\varepsilon_0 = 1$ 之外，$\varepsilon_r$ 都大于1。

电介质的极化

虽然无极分子电介质和极分子电介质的微观机制不同，但在宏观上，都表现为在均匀电介质表面出现束缚电荷。（表面没有自由电荷） 自由电荷是一种等效概念，常指存在于物质内部，再外电场作用下能做定向移动的电荷，如金属导体中的自由电子，电解质中的离子等。 但由于电介质极化产生的束缚电荷不是自由电荷

束缚电荷与自由电荷的共同之处是它们都会产生静电场。

电极化强度

点极化强度定义为单位体积内分子电偶极矩的矢量和，记作 $\boldsymbol{P}$，则有： $$\boldsymbol{P} = \frac{\sum \boldsymbol{p_i}}{\Delta V}$$ 在国际化单位制中，电极化强度的单位是 $\mathrm{C/m^2}$。
它的量纲与电荷面密度相同

对无极分子构成的电介质，由于每个分子的感生电矩 $\boldsymbol{p_i}$ 都相同，故有： $$\boldsymbol{P} = n \boldsymbol{p}$$ 在外电场中，若电介质内各点的电极化强度 $\boldsymbol{P}$ 的大小和方向都相同，则称电介质为均匀电介质，否则称为非均匀电介质。

在外电场 $\boldsymbol{E_0}$ 中极化的电介质表面以及体内出现的束缚电荷 $q’$ 也要产生电场 $\boldsymbol{E}’$.
根据电场叠加原理，电介质内部的电场 $\boldsymbol{E}$ 为外电场 $\boldsymbol{E_0}$ 和极化电场 $\boldsymbol{E}’$ 的矢量和，即： $$\boldsymbol{E} = \boldsymbol{E_0} + \boldsymbol{E}’$$

实验证明，当电介质内电场 $\boldsymbol{E}$ 不大强的时候，各向同性的均匀电介质的电极化强度 $\boldsymbol{P}$ 与电场 $\boldsymbol{E}$ 之间的关系是线性的，即： $$\boldsymbol{P} = \varepsilon_0 \chi_e \boldsymbol{E}$$ 其中，$\chi_e$ 是电介质的电极化率，为无量纲量。其数值上等于 $\varepsilon_r - 1$。

极化强度与极化电荷的关系

$$dq’ = \boldsymbol{P} \cdot d\boldsymbol{S}$$ $$\frac{dq’}{dS} = \boldsymbol{P} \cdot \boldsymbol{e_n} = P \cos \theta$$

故在一个闭合曲面内满足： $$\oint_S \boldsymbol{P} \cdot d\boldsymbol{S} = -\sum q’_{内}$$

当面元 $d \boldsymbol{S}$ 在电介质表面的时候，有： $$\sigma_e’ = \boldsymbol{P} \cdot \boldsymbol{e_n} = P \cos \theta = P_n$$

有介质时的高斯定理

有电介质存在时的总场强为： $$\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E_0}+\boldsymbol{E’}$$ 其中，$\boldsymbol{E_0}$ 是外电场，$\boldsymbol{E’}$ 是极化电场。

即电场 $\boldsymbol{E}$ 由束缚电荷的分布决定，而电介质最后的极化情况即点极化强度 $\boldsymbol{P}$ 和束缚电荷的分布又是由电场 $\boldsymbol{E}$ 决定的。

可见三者之间的关系是相互影响的，可以通过引入适当的物理量来简化问题。

电位移和有介质时的高斯定理

有电介质时，高斯定理依然成立，只不过此时 $\boldsymbol{E}$ 通量的计算需要同时考虑自由电荷和束缚电荷的贡献。 即：
$$\oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum \left( q_{0内} + q’_{内} \right)$$
根据 极化强度与极化电荷的关系 可知： $$\oint_S (\varepsilon_0 \boldsymbol{E} + \boldsymbol{P}) \cdot d\boldsymbol{S} = \sum q_{0内}$$
引入一个物理量 $\boldsymbol{D}$，称为电位移矢量，定义为： $$\boldsymbol{D} = \varepsilon_0 \boldsymbol{E} + \boldsymbol{P}$$
称为电位移矢量，其单位是 $\mathrm{C/m^2}$。
则上式可改写成：
$$\oint_S \boldsymbol{D} \cdot d\boldsymbol{S} = \sum q_{0内}$$

此式证明：通过任意闭合曲面的电位移通量（或称为 $\boldsymbol{D}$ 通量）等于该闭合曲面内的自由电荷之和。 称为有介质时的高斯定理，或称为 $\boldsymbol{D}$ 的高斯定理。

介电常数

对于各向同性电介质，有： $$\boldsymbol{D} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \boldsymbol{E} = \varepsilon \boldsymbol{E}$$ 式中比例系数 $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$ 称为电介质的介电常数

应用

1. 根据自由电荷的分布求出电位移 $\boldsymbol{D}$ 的分布
2. 根据电位移 $\boldsymbol{D}$ 的分布求出电场强度 $\boldsymbol{E}$
3. 根据 $\boldsymbol{E}$ 求出 $\boldsymbol{P}$
4. 根据 $\boldsymbol{P}$ 求出束缚电荷面密度 $\sigma_e'$
5. 根据 $\sigma_e’$ 求出束缚电荷总量 $q'$

静电场的边界条件

电场强度切向分量的连续性

再两种电介质的分界面上，用 $E_{1t}$ 和 $E_{2t}$ 分别表示分界面电场强度切向分量大小，由环路定理知：

$$\oint_L \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = E_{1t} \Delta l + E_{2t} \Delta l = 0$$
即： $$E_{1t} = E_{2t}$$

可见，电场强度的切向分量在两种电介质的分界面上是连续的。

电位移法向分量的连续性

在两种电介质的分界面上，用 $D_{1n}$ 和 $D_{2n}$ 分别表示分界面电位移法向分量大小，由高斯定理知：

$$\oint_S \boldsymbol{D} \cdot d\boldsymbol{S} = D_{1n} \Delta S + D_{2n} \Delta S = 0$$ 即： $$D_{1n} = D_{2n}$$

可见，电位移的法向分量在两种电介质的分界面上是连续的。

以上推出的两个结论称为静电场的边界条件。

$\boldsymbol{D}$ 线的折射定律

$$\frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2} = \frac{\varepsilon_{r1}}{\varepsilon_{r2}}$$

电容与电容器

孤立导体的电容

当孤立导体所带的电荷量 $Q$ 增大时，根据叠加原理，导体的电势 $\varphi$ 也按一定的比例增大。

我们知道电荷量 $Q$ 与导体的电势 $\varphi$ 之间的比值仅与导体的几何形状有关，而与导体的电势无关。这个比值称为导体的电容，用 $C$ 表示，即： $$C = \frac{Q}{\varphi}$$

它的物理意义是：导体上的电势每增加单位电势所需的电荷量。
它的单位是法拉（F）。 $$1 \mathrm{F} = 1 \mathrm{C/V}$$ 实际应用中，由于电容量很大，常用微法（$\mu \mathrm{F}$）和皮法（$\mathrm{pF}$）作为单位。

电容器的电容

若一个带电导体近旁有其他导体或带电体的时候，刺刀提的电势讲不仅与和他自己所带的电荷 $Q$ 有关，还与周围其他物体的电荷分布有关。

想要消除其他物体的影响，我们可以采用静电屏蔽的方法。

导体与外壳的电势差 $U$ 只取决于导体自身的电荷量 $Q$ 的大小、导体壳的内表面与导体的几何形状有关。 则设电容为 $C$，电势差为 $U$，则有： $$C = \frac{Q}{U}$$

我们称这种由导体壳和其腔内以电介质或真空隔开的导体所组成的装置为电容器。

电容器的性质

1. 电容器的电容 $C$ 与电容器的几何形状有关，与电容器的电势差 $U$ 无关。
2. 电容器带电时，两个极板面分别带有等量异号电荷 $+Q$ 和 $-Q$，
3. 电容器的电势差 $U$ 也称为电压，电容器所带的电荷量与电压成正比，比值为电容 $C$。

平行板电容器

实际中对电容器屏蔽性的要求并不像理想电容器那样严格，因此我们可以用平行板电容器来近似描述电容器的性质。

理想的平行板电容器由两块平行的大导体板组成

若导体板不能视作无限大，则在电容器边缘存在边缘效应，即电场线不再垂直于导体板，而是向外凸出。
一般电学问题中，我们可以忽略边缘效应。

平行板电容器的电容

1. 当两块平行板之间充满真空时，电容为： $$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$$
2. 当两块平行板之间充满电介质时，电容为： $$C = \frac{\varepsilon S}{d}$$
3. 在其中一块平行板旁边放置一个宽度为 $l$， 介电常数为 $\varepsilon$ 的导体板，使其与另一块平行板之间的距离为 $d$，则电容为： $$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d} + \frac{\varepsilon S}{l}$$

电容器的连接

串联

串联电容器的电容等效为： $$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \cdots + \frac{1}{C_n}$$

并联

并联电容器的电容等效为： $$C = C_1 + C_2 + \cdots + C_n$$

静电场的能量

电荷系的静电能

$$W_e = \frac{1}{2} \sum q_i \varphi_i$$ 或者 $$W_e = \frac{1}{2} \int_q \varphi dq$$

电容器的能量

$$W_e = \frac{1}{2} CU^2 = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$$

平行板电容器

代入 $C = \frac{\varepsilon S}{d}$ 可得 $$W_e = \frac{1}{2} \frac{\varepsilon S}{d} (Ed)^2 = \frac{1}{2} \varepsilon E^2 S d$$

静电场的能量与能量密度

根据 平行板电容器 的能量公式，我们知道平行板电容器的能量和电场强度有关。
更普遍的说，电能的携带者是电场。

单位体积中的电场能量密称为电场能量密度，记作 $w_e$，即 $$w_e = \frac{dW_e}{dV}$$

由于平行板电容器的电场是均匀的，所以电场能量密度是均匀的，即 $$w_e = \frac{W_e}{V} = \frac{1}{2} \varepsilon E^2 = \frac{1}{2} D E$$ 该式虽然是从平行板电容器的能量公式推导出来的，但是对各向同性的电介质都是普遍成立的。 在各向异性的电介质中，$\boldsymbol{D}$ 和 $\boldsymbol{E}$ 的方向不一定相同，但是它们之间的关系仍然是 $$w_e = \frac{1}{2} \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E}$$

对于任意电场，空间 $V$ 内的总电场能量 $W_e$ 可以体由积分求得，即 $$W_e = \int_V w_e dV = \frac{1}{2} \int_V \frac{1}{2} \varepsilon E^2 dV$$
该积分遍及整个空间，适用于任何各向同性的电介质。