光电效应-爱因斯坦光量子理论
光电效应
饱和光电流 $i_m$
当入射光强度 $I$ 一定时，光电流随加速电压 $U$ 的增大而增大，但当加速电压增大到一定值时，光电流达到最大值，此时的光电流称为饱和光电流，用 $i_m$ 表示。
饱和光电流与光强成正比，与入射光的频率无关。
截止电压 $U_a$
当加速电压减少到 $0$ 且反向变为负值时，光电流不直接变为 $0$，而是逐渐减小。
当反向电压加到一定值时，光电流变为 $0$，此时的电压称为截止电压，用 $U_a$ 表示。
$$eU_a = \frac{1}{2}m_{e}v^2_{\text{m}}$$
截止频率 $\nu_0$
当入射光的频率 $\nu$ 增大时，截止电压 $U_a$ 随之线性增大，即
$$U_a = \frac{h\nu - A}{e}$$
存在截止频率 $$\nu_0 = \frac{A}{h}$$ 当 $\nu < \nu_0$ 时，光电效应不发生。 $A$ 为逸出功。
弛豫时间
无论光强怎样微弱，光电效应滞后时间不超过 $10^{-9},\text{s}$。
与经典理论的矛盾
- 光电子的最大初动能与入射光的频率有关，而与光强无关。
- 当入射光的频率小于截止频率时，无论光强多大，光电效应都不发生。
- 无论光强怎样微弱，不需要累计时间，光电效应就会立即发生。
爱因斯坦光量子理论
对于频率为 $\nu$ 的光量子，其能量 $\varepsilon$ 与频率成正比，即 $$\varepsilon = h\nu$$ 其中 $h$ 为普朗克常数。
光量子后改称为光子，沿用至今
爱因斯坦光电效应方程
$$\frac{1}{2} m_e v^2_{\text{m}} = h\nu - A$$ 式中 $A$ 为逸出功。
光的强度
$$I = Nh\nu$$ 式中 $N$ 为单位时间内通过单位面积的光子数。
光的波粒二象性
将 $\varepsilon = h\nu$ 代入 $E = mc^2$ 可得
$$m = \frac{h\nu}{c^2} = \frac{h}{c\lambda}$$
则光子的相对论动量为
$$p = mc = \frac{h\nu}{c} = \frac{h}{\lambda}$$
康普顿效应
康普顿效应
1923年，美国物理学家 阿瑟·康普顿 在观察X射线被石墨等物质散射时，发现在散射线中除有与入射波长相同的射线外，还有波长比入射波长更长的射线，这种有波长改变的散射现象称为康普顿效应。
康普顿散射公式
实验给出的波长偏移量 $\Delta\lambda$ 与散射角 $\varphi$ 之间的关系为
$$\Delta\lambda = \lambda_c(1 - \cos\varphi)$$
式中的 $\lambda_c$ 称为康普顿波长，其表达式为
$$\lambda_c = \frac{h}{m_ec} = 2.43\times10^{-12},\text{m}$$
康普顿效应与经典理论的矛盾
经典波动理论无法解释上述波长改变了的康普顿效应。 按照经典波动理论，在X射线的照射下，物质中的带电粒子将从入射光中吸收能量，做同频率的受迫振动，所辐射的电磁波的频率也应与入射光的频率相同，因而不会发生波长改变。
光量子解释
在光子射到散射体上并和某一原子中的外层电子发生碰撞过程中，电子会吸收一部分能量，脱离原子而反冲出去，称为反冲电子；所以散射光子的能量就要比入射光子的能量小，因而散射光的频率会变小，而波长会变长。
设碰撞前入射光子的频率为 $\nu_0$ ，则其能量为 $h\nu_0$ ，动量为 $p = \frac{h\nu_0}{c}$ ，其中， $\boldsymbol{e}_0$ 为入射光方向上的单位矢量； 静止的自由电子能量为 $m_ec^2$ ，动量为零。
碰撞后，散射角为 $\varphi$ 的散射光子的能量为 $h\nu$ ，动量为 $p’ = \frac{h\nu}{c} \boldsymbol{e}$ ，其中， $\boldsymbol{e}$ 为散射光方向上的单位矢量。
反冲速度为 $v$ 的电子质量为
$$m = \frac{m_e}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \tag{1}$$
能量为 $mc^2$ ，动量为 $mv$ 。
由动量守恒和能量守恒可得 $$h\nu_0 + m_ec^2 = h\nu + mc^2 \tag{2}$$ $$\frac{h\nu_0}{c}\boldsymbol{e}_0 = \frac{h\nu}{c}\boldsymbol{e} + m\boldsymbol{v} \tag{3}$$
其中下式可以写成两个分量方程 $$\frac{h\nu_0}{c} = \frac{h\nu}{c}\cos\varphi + mv\cos\theta \tag{4}$$ $$\frac{h\nu}{c}\sin\varphi = mv\sin\theta \tag{5}$$ 联立$(4)(5)$，消去 $\theta$ 可得 $$m^2v^2c^2 = h^2 \left(\nu_0^2 + \nu^2 - 2\nu_0\nu\cos\varphi\right) \tag{6}$$ 又因为 $$m^2c^4 = h^2\left(\nu_0^2+\nu^2-2\nu_0\nu\right)+m_e^2c^4+2hm_ec^2\left(\nu_0-\nu\right) \tag{7}$$
$(6)$ 式减去 $(7)$ 式，代入 $(1)$ 式可得 $$2h\nu_0\nu(1-\cos\varphi) = 2hm_ec^2(nu_0-\nu)$$
于是有 $$\Delta\lambda = \lambda - \lambda_0 = \frac{c}{\nu} - \frac{c}{\nu_0} = \frac{h}{m_ec}(1-\cos\varphi) = \lambda_c(1-\cos\varphi)$$ 与实验结果一致。
散射电子不能吸收光子
假设自由电子能够完全吸收光子，则由能量守恒定律和动量守恒定律可得 $$h\nu_0 + m_ec^2 = mc^2$$ $$\frac{h\nu_0}{c}\boldsymbol{e}_0 = mv\boldsymbol{e_0}$$ 上式与 $$m = \frac{m_e}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$ 联立可得到 $$v = c$$ 违背了相对论。
氢原子光谱-玻尔的氢原子理论
氢原子光谱
氢原子的光谱呈现分立离散的线状光谱，称为氢光谱。
用波长的倒数 $\sigma = \frac{1}{\lambda}$ 来代替光谱线的波长
谱系
$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$$
巴尔末系
式中 $R_{\infty} = 1.097 \times 10^7 , \text{m}^{-1}$ 称为里德伯常量
莱曼系
$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{1^1} - \frac{1}{n^2} \right)$$
帕邢系
$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{n^2} \right)$$
布拉开系
$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{n^2} \right)$$
普丰德系
$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{5^2} - \frac{1}{n^2} \right)$$
广义巴尔末系
$$\sigma = R_{\infty} \left( \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2} \right), \quad m = 1, 2, 3, \cdots, n - 1$$
玻尔的氢原子理论
玻尔突破经典物理学的束缚，结合了经典力学和量子力学的思想，提出了氢原子的理论模型，包含下面三个假设：
- 定态假设 一个原子系统能够并且只能经常的处于一系列特定的能量状态，这些状态称为定态。 虽然电子在绕核旋转，但是它不会辐射能量，也不会坠入核内。
- 频率条件 电子在不同的能级之间跃迁时，辐射或者吸收的光子的频率满足 $$h\nu = \left|E_f - E_i\right|$$ 其中 $E_f$ 为最终能级， $E_i$ 为初始能级。
- 角动量量子假设 电子以速度 $v$ 在半径为 $r$ 的圆周上绕核运动，只有电子的角动量大小 $L$ 等于 $\hbar$ 的整数倍的那些轨道是稳定的，即 $$L = m_evr = n\hbar$$ 其中 $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ 为约化普朗克常数， $n$ 为量子数， $n = 1, 2, 3, \cdots$
氢原子的能量公式
从这些假设出发，可以推导出氢原子的能量公式 $$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2} = m_e \frac{v^2}{r}$$ $$r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_ee^2}n^2$$ 当 $n = 1$ 时，轨道半径最小为 $a_0 = 0.529 \times 10^{-10} , \text{m}$，称为玻尔半径。
电子在某一定态轨道上运动时，氢原子系统的总能量即定态能量为 $$E = E_k + E_p = \frac{1}{2} m_e v^2 - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}$$
将 $r_n$ 代入上式可得 $$E_n = -\frac{e^2}{2\left(4\pi\varepsilon_0\right)r_n} = -\frac{m_ee^4}{2\left(4\pi\varepsilon_0\right)^2\hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2} = -\frac{13.6}{n^2} , \text{eV}$$
其中 $n$ 只能取一系列正整数，称为主量子数。
$n = 1$ 时，称为基态， $n = 2, 3, 4, \cdots$ 时，称为激发态。 $E_1 = -13.6 , \text{eV}$，氢原子的电离能 $E_i = E_{\infty} - E_1 = 13.6 , \text{eV}$
类氢离子的能级公式
类氢离子如 $He^+$，$Li^{2+}$ 等的能级公式为 $$E_n = -\frac{m_ee^4}{2\left(4\pi\varepsilon_0\right)^2\hbar^2} \cdot \frac{Z}{n^2} = -\frac{13.6Z}{n^2} , \text{eV}$$ 其中 $Z$ 为核电荷数。
光子的频率与波长
$$\nu = \frac{E_n - E_m}{h} = \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2 \frac{m_ee^4}{4\pi\hbar^3} \left(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}\right)$$
$$\sigma = \frac{1}{\lambda} = \frac{\nu}{c} = \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\frac{m_ee^4}{4\pi\hbar^3c} \left(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}\right)$$ 与广义巴尔末系的公式相同。可得里德堡常量 $$R_{\infty} = \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\frac{m_ee^4}{4\pi\hbar^3c} = 1.097 \times 10^7 , \text{m}^{-1}$$
粒子的波动性
德布罗意波
一个质量为 $m$ 、速度为 $v$ 的粒子，既具有以能量 $E$ 和 动量 $p$ 描述的 粒子性，又具有以波长 $\lambda$ 和频率 $\nu$ 描述的 波动性。这种波动性称为 德布罗意波。
他们之间的关系与光波的关系类似，即：
$$\nu = \frac{E}{h} = \frac{mc^2}{h}$$
$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$
其中 $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ 为粒子的运动质量。
上式称为 德布罗意关系。
$\lambda$ 称为 德布罗意波长， $\nu$ 称为 德布罗意频率。
波函数
根据量子力学的基本假设，粒子的波动性表现为 概率波。
概率波的振幅的平方表示粒子在某一位置出现的概率密度。概率波的波函数通常用 $\psi$ 表示，其满足薛定谔方程：
$$ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi $$
其中 $\hbar$ 是约化普朗克常数，$\hat{H}$ 是哈密顿算符。
波函数的物理意义
波函数 $\psi$ 的绝对值的平方 $|\psi|^2$ 表示粒子在某一位置出现的概率密度。波函数的相位则与粒子的动量和能量有关。
归一化条件
为了保证粒子在整个空间内出现的概率为1，波函数 $\psi$ 必须满足归一化条件：
$$ \int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2 , dx = 1 $$
叠加原理
量子力学中的波函数可以叠加，即如果 $\psi_1$ 和 $\psi_2$ 是两个可能的波函数，那么它们的线性组合 $\psi = c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2$ 也是一个可能的波函数，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是常数。
测量与坍缩
在量子力学中，对粒子的测量会导致波函数的坍缩，即波函数会瞬间变为测量结果对应的本征态。这一过程称为波函数坍缩。
自由粒子的波函数
自由粒子的波函数为平面波，即 $\psi = A e^{i(kx - \omega t)}$，其中 $A$ 为常数，$k$ 为波数，$\omega$ 为角频率。 用德布罗意关系可得： $$ k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{p}{\hbar} $$ $$ \omega = 2\pi \nu = \frac{E}{\hbar} $$ 因此，自由粒子的波函数可表示为： $$ \psi = A e^{\frac{i}{\hbar}(px - Et)} $$ 其中 $A$ 为常数。 对于三维空间中的自由粒子，波函数为： $$ \psi = A e^{\frac{i}{\hbar}(\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} - Et)} $$
其中 $\boldsymbol{p}$ 为动量，$\boldsymbol{r}$ 为位置矢量。 $$\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} = p_x x + p_y y + p_z z$$ 在非相对论情况下，自由粒子的能量为： $$E = \frac{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}{2m}$$
不确定关系
不确定关系
$$\begin{aligned} \Delta x \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} \newline \Delta y \Delta p_y \geq \frac{\hbar}{2} \newline \Delta z \Delta p_z \geq \frac{\hbar}{2} \newline \Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} \end{aligned}$$