康普顿效应

1923年，美国物理学家 阿瑟·康普顿 在观察X射线被石墨等物质散射时，发现在散射线中除有与入射波长相同的射线外，还有波长比入射波长更长的射线，这种有波长改变的散射现象称为康普顿效应。

康普顿散射公式

实验给出的波长偏移量 $\Delta\lambda$ 与散射角 $\varphi$ 之间的关系为 $$\Delta\lambda = \lambda_c(1 - \cos\varphi)$$
式中的 $\lambda_c$ 称为康普顿波长，其表达式为
$$\lambda_c = \frac{h}{m_ec} = 2.43\times10^{-12},\text{m}$$

康普顿效应与经典理论的矛盾

经典波动理论无法解释上述波长改变了的康普顿效应。 按照经典波动理论，在X射线的照射下，物质中的带电粒子将从入射光中吸收能量，做同频率的受迫振动，所辐射的电磁波的频率也应与入射光的频率相同，因而不会发生波长改变。

光量子解释

在光子射到散射体上并和某一原子中的外层电子发生碰撞过程中，电子会吸收一部分能量，脱离原子而反冲出去，称为反冲电子；所以散射光子的能量就要比入射光子的能量小，因而散射光的频率会变小，而波长会变长。

设碰撞前入射光子的频率为 $\nu_0$ ，则其能量为 $h\nu_0$ ，动量为 $p = \frac{h\nu_0}{c}$ ，其中， $\boldsymbol{e}_0$ 为入射光方向上的单位矢量； 静止的自由电子能量为 $m_ec^2$ ，动量为零。

碰撞后，散射角为 $\varphi$ 的散射光子的能量为 $h\nu$ ，动量为 $p’ = \frac{h\nu}{c} \boldsymbol{e}$ ，其中， $\boldsymbol{e}$ 为散射光方向上的单位矢量。 反冲速度为 $v$ 的电子质量为 $$m = \frac{m_e}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \tag{1}$$
能量为 $mc^2$ ，动量为 $mv$ 。

由动量守恒和能量守恒可得 $$h\nu_0 + m_ec^2 = h\nu + mc^2 \tag{2}$$ $$\frac{h\nu_0}{c}\boldsymbol{e}_0 = \frac{h\nu}{c}\boldsymbol{e} + m\boldsymbol{v} \tag{3}$$

其中下式可以写成两个分量方程 $$\frac{h\nu_0}{c} = \frac{h\nu}{c}\cos\varphi + mv\cos\theta \tag{4}$$ $$\frac{h\nu}{c}\sin\varphi = mv\sin\theta \tag{5}$$ 联立$(4)(5)$，消去 $\theta$ 可得 $$m^2v^2c^2 = h^2 \left(\nu_0^2 + \nu^2 - 2\nu_0\nu\cos\varphi\right) \tag{6}$$ 又因为 $$m^2c^4 = h^2\left(\nu_0^2+\nu^2-2\nu_0\nu\right)+m_e^2c^4+2hm_ec^2\left(\nu_0-\nu\right) \tag{7}$$

$(6)$ 式减去 $(7)$ 式，代入 $(1)$ 式可得 $$2h\nu_0\nu(1-\cos\varphi) = 2hm_ec^2(nu_0-\nu)$$

于是有 $$\Delta\lambda = \lambda - \lambda_0 = \frac{c}{\nu} - \frac{c}{\nu_0} = \frac{h}{m_ec}(1-\cos\varphi) = \lambda_c(1-\cos\varphi)$$ 与实验结果一致。

散射电子不能吸收光子

假设自由电子能够完全吸收光子，则由能量守恒定律和动量守恒定律可得 $$h\nu_0 + m_ec^2 = mc^2$$ $$\frac{h\nu_0}{c}\boldsymbol{e}_0 = mv\boldsymbol{e_0}$$ 上式与 $$m = \frac{m_e}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$ 联立可得到 $$v = c$$ 违背了相对论。