德布罗意波

一个质量为 $m$ 、速度为 $v$ 的粒子，既具有以能量 $E$ 和 动量 $p$ 描述的 粒子性，又具有以波长 $\lambda$ 和频率 $\nu$ 描述的 波动性。这种波动性称为 德布罗意波。

他们之间的关系与光波的关系类似，即： $$\nu = \frac{E}{h} = \frac{mc^2}{h}$$ $$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$ 其中 $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ 为粒子的运动质量。 上式称为 德布罗意关系。
$\lambda$ 称为 德布罗意波长， $\nu$ 称为 德布罗意频率。

波函数

根据量子力学的基本假设，粒子的波动性表现为 概率波。
概率波的振幅的平方表示粒子在某一位置出现的概率密度。概率波的波函数通常用 $\psi$ 表示，其满足薛定谔方程：

$$ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi $$

其中 $\hbar$ 是约化普朗克常数，$\hat{H}$ 是哈密顿算符。

波函数的物理意义

波函数 $\psi$ 的绝对值的平方 $|\psi|^2$ 表示粒子在某一位置出现的概率密度。波函数的相位则与粒子的动量和能量有关。

归一化条件

为了保证粒子在整个空间内出现的概率为1，波函数 $\psi$ 必须满足归一化条件：

$$ \int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2 , dx = 1 $$

叠加原理

量子力学中的波函数可以叠加，即如果 $\psi_1$ 和 $\psi_2$ 是两个可能的波函数，那么它们的线性组合 $\psi = c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2$ 也是一个可能的波函数，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是常数。

测量与坍缩

在量子力学中，对粒子的测量会导致波函数的坍缩，即波函数会瞬间变为测量结果对应的本征态。这一过程称为波函数坍缩。

自由粒子的波函数

自由粒子的波函数为平面波，即 $\psi = A e^{i(kx - \omega t)}$，其中 $A$ 为常数，$k$ 为波数，$\omega$ 为角频率。 用德布罗意关系可得： $$ k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{p}{\hbar} $$ $$ \omega = 2\pi \nu = \frac{E}{\hbar} $$ 因此，自由粒子的波函数可表示为： $$ \psi = A e^{\frac{i}{\hbar}(px - Et)} $$ 其中 $A$ 为常数。 对于三维空间中的自由粒子，波函数为： $$ \psi = A e^{\frac{i}{\hbar}(\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} - Et)} $$

其中 $\boldsymbol{p}$ 为动量，$\boldsymbol{r}$ 为位置矢量。 $$\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} = p_x x + p_y y + p_z z$$ 在非相对论情况下，自由粒子的能量为： $$E = \frac{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}{2m}$$