狭义相对论力学基础

狭义相对论的基本原理

牛顿绝对时空观

空间是处处均匀的、各向同性的三维欧几里得空间，空间与物质的运动没有任何联系，空间中任意两点间的距离是一个与观测者所在参考系无关的绝对量，即空间长度是绝对的
时间是从过去、现在到将来均匀地流逝着的，在整个宇宙，时间是划一的，也与物质的运动无关，两个事件之间的时间间隔不随参考系的改变而改变，即时间间隔也是绝对的
空间与时间各自独立存在，是物体运动的基础，是第一位的，而物体运动在它们的框架内进行，是第二位的。

牛顿力学的这种对时间和空间的认识被称为牛顿绝对时空观。

伽利略变换

$$\begin{aligned}x’ &= x - ut \newline y’ &= y \newline z’ &= z \newline t’ &= t\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}v_x’ &= v_x - u \newline v_y’ &= v_y \newline v_z’ &= v_z\end{aligned}$$ 即 $$\boldsymbol{v}’ = \boldsymbol{v} - \boldsymbol{u}$$ 对时间求导 $$\boldsymbol{a}’ = \boldsymbol{a}$$

力学相对性原理

牛顿定律在任何惯性参考系中都成立，这就是力学相对性原理。

根据伽利略变换，有 $$m = m’ \quad \boldsymbol{a} = \boldsymbol{a}’$$ 即 $$\boldsymbol{F} = \boldsymbol{F}’$$

可见，伽利略变换也同样反映了力学相对性原理。

迈克尔逊-莫雷实验

迈克尔逊-莫雷实验是为了检验以太的存在。实验结果表明，光速在不同方向上都是相同的，这与以太的存在相矛盾。

迈克尔逊-莫雷实验当 $l = 10 \mathrm{m}$ 时，干涉条纹将移动 $0.37$ 条。但实验结果并没有看到预期的条纹移动。

爱因斯坦相对性原理

物理定律在所有惯性系中都具有相同的数学表达形式，即对包括电磁规律在内的所有物理规律，不同惯性系都是等价的，不存在任何特殊的惯性系（比如以太参考系）。这就是爱因斯坦相对性原理。

爱因斯坦光速不变原理

在所有惯性系中，光在真空中的传播速率都等于 $c$ 。也就是说，无论光源和观察者在真空中如何运动，无论光的频率是多少，测得的光速都相等。这就是爱因斯坦光速不变原理。

爱因斯坦正是在 光速不变原理 这一基本假设的基础上，推导得到了 同时性的相对性 这一狭义相对论中最本质的时空效应，并在此基础上得到了反映狭义相对论时空观的洛伦兹变换。

爱因斯坦认为， 相对性 是自然界的根本规律，这也是狭义相对论的实质，是对力学相对性原理的发展。

他认为，物质运动是客观的、第一位的；时间、空间与物质运动紧密相连，可随着物质运动的不同而变化，是第二位的。

相对论时空效应

空间和时间的测量

事件

某时在空间某点发生的事情称为一个事件。
描述一个事件需要四个量：三个空间坐标和一个时间坐标，即 $(x, y, z, t)$。

同时性

同地同时性

同地同时性是绝对的，其同时性不会因为参考系的改变而发生改变，这意味着一个参考系对事件时间坐标的准确测址也会被其他参考系中的观测者所认同，这样，不同参考系中测得的同一事件的不同时间坐标之间的对比才有意义。

异地同时性

异地同时性是相对的，其同时性会因为参考系的不同而不同，异地同时性的相对性是相对论时空效应中最本质的效应。

时钟

由于对事件时间坐标的测量要求用事件发生处的时钟，而事件可能发生在空间任意地点。因此在参考系的不同坐标处都有用来测量时间的时钟，这些时钟彼此间是对齐和同步的，也称为同步钟。每个参考系都有属于自己的一系列同步钟。如果事件发生在 $x$ 坐标处，就需要用 $x$ 坐标处时钟来测量事件发生的时间坐标。设此时 $x$ 处时钟的指针正好指向 $t$ 时刻，则事件发生的时空坐标就为 $(x, t)$。

时间延缓效应

$$\Delta t = \frac{\Delta t’}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}$$

其中 $\Delta t$ 是在观测者坐标系测得的两事件之间的时间间隔，$\Delta t’$ 是事件在事件发生处的参考系中实际的时间间隔，$u$ 是观测者相对于事件发生处的参考系的速度，$c$ 是光速。

由于测得的时间间隔 $\Delta t$ 比实际时间间隔 $\Delta t’$ 要长，所以称为时间延缓效应。

长度收缩效应

由 $l’ = u \cdot \Delta t’$ 和 $l = u \cdot \Delta t$ 可得
$$l = l’ \cdot \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}$$ 其中 $l$ 为在观测者坐标系中测得的长度，称为运动长度，$l’$ 为事件发生处的参考系中实际的长度，称为固有长度

由于测得的长度 $l$ 比实际长度 $l’$ 要短，所以称为长度收缩效应。

长度收缩效应是一个纵向的效应，即只有在物体运动方向上的长度才会发生收缩。

由于时间延缓效应和长度收缩效应都是相对的，在两个系中观测对方的时钟和尺子，都会发现对方的时钟走得慢，尺子变短。

洛伦兹变换

一个事件： $S$ 系中的坐标为 $(x, y, z, t)$， $S’$ 系中的坐标为 $(x’, y’, z’, t’)$，两个系之间的相对速度为 $u$ 满足以下关系：

$x$, $y$, $z$ 轴与 $x’$, $y’$, $z’$ 轴平行
$S’$ 系相对 $S$ 系沿 $x$ 轴正方向以速度 $u$ 运动
当 $t = t’ = 0$ 时，两个系的坐标原点重合

$$\begin{aligned} \left. \begin{array}{ll} x’ &=& \frac{x-ut}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \newline y’ &=& y \newline z’ &=& z \newline t’ &=& \frac{t-\frac{u}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \end{array} \right \rbrace \quad \leftrightarrows \quad \left\lbrace \begin{array}{ll} x &=& \frac{x’ + ut’}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \newline y &=& y’ \newline z &=& z’ \newline t &=& \frac{t’ + \frac{u}{c^2}x’}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \end{array} \right. \end{aligned}$$

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$$
称为洛伦兹因子。有 $$x’ = \gamma(x-ut)$$ 根据爱因斯坦相对性原理，两个系之间除了相对速度相反之外，没有其他差别，因此有 $$x = \gamma(x’+ut’)$$

$$x^2 + y^2 + z^2 - c^2t^2 = x’^2 + y’^2 + z’^2 - c^2t’^2 = 0$$

同时性的相对性

在 $S$ 系中，两个事件 $A$ 和 $B$ 在 $x$ 轴上的坐标分别为 $x_A$ 和 $x_B$，在 $S’$ 系中，两个事件的坐标分别为 $x’_A$ 和 $x’_B$，则有 $$x_A = \gamma(x’_A + ut’_A)$$ $$x_B = \gamma(x’_B + ut’_B)$$ 两个事件同时发生的条件是 $t_A = t_B$，即 $t’_A = t’_B$，则有 $$x_A = \gamma(x’_A + ut’_A) = \gamma(x’_B + ut’_B) = x_B$$ 即在 $S$ 系中同时发生的两个事件，在 $S’$ 系中不一定同时发生，这就是同时性的相对性。

因果律

在 $S$ 系中，事件 $A$ 发生在事件 $B$ 之前，即 $t_A < t_B$，则有 $$t’_A = \frac{t_A - \frac{u}{c^2}x_A}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} < \frac{t_B - \frac{u}{c^2}x_B}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} = t’_B$$ 即在 $S’$ 系中，事件 $A$ 同样发生在事件 $B$ 之前，这就是因果律。

相对论速度变换

$$\begin{aligned} \left. \begin{array}{ll} v_x’ &= \frac{v_x - u}{1 - \frac{uv_x}{c^2}} \newline v_y’ &= \frac{v_y}{\gamma(1 - \frac{uv_x}{c^2})} \newline v_z’ &= \frac{v_z}{\gamma(1 - \frac{uv_x}{c^2})} \end{array} \right \rbrace \quad \leftrightarrows \quad \left\lbrace \begin{array}{ll} v_x &= \frac{v_x’ + u}{1 + \frac{uv_x’}{c^2}} \newline v_y &= \frac{v_y’}{\gamma(1 + \frac{uv_x’}{c^2})} \newline v_z &= \frac{v_z’}{\gamma(1 + \frac{uv_x’}{c^2})} \end{array} \right. \end{aligned}$$

相对论力学基础

相对论动量和质量

$$m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$ $$\boldsymbol{p} = \gamma m_0 \boldsymbol{v} = \frac{m_0\boldsymbol{v}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$ $$\boldsymbol{F} = \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} = m \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{v} = m\boldsymbol{a} + \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{v}$$

质能关系

相对论动能

$$\mathrm{d}A = \boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}$$ 求粒子被加速到速度 $v$ 时的动能 $$A = \int_0^v \boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{x} = \int_0^v \frac{\mathrm{d}(mv)}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}x = \int_0^v v\mathrm{d}(mv)$$ 由 $$m^2(c^2 - v^2) = m_0^2c^2$$ 得 $$2mc^2\mathrm{d}m - 2mv\mathrm{d}(mv) = 0$$ 得 $$c^2\mathrm{d}m = v\mathrm{d}(mv)$$ 代入上式得 $$A = \int_0^v v\mathrm{d}(mv) = \int_0^v c^2\mathrm{d}m = c^2(m - m_0)$$ 因此可得粒子的动能为 $$E_k = c^2(m - m_0)$$ 另外，当 $v \ll c$ 时，利用泰勒展开式可得 $$E_k = m_0c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1\right) \approx \frac{1}{2}m_0v^2$$

相对论能量

在上式中动能被表示为两项的差，其中 $m_0c^2$ 与静止质量有关，称为静止能量，用 $E_0$ 表示， $mc^2$ 与相对论质量有关，称为相对论能量或总能量，用 $E$ 表示，即
$$E = mc^2$$ 这就是爱因斯坦的质能关系。

质量和能量是物质相互联系、不可分割的两个基本属性，二者之间可以相互转化，质量可以转化为能量，能量也可以转化为质量。

静止能量是牛顿力学中没有的全新的物理概念，它表明孤立的物体即使静止也具有能量，这种能量包括物体内所有微观粒子的动能和势能等一切形式的能量，是物体内能的总和．

相对论能量守恒定律

$$\sum_i E_i = \sum_i m_ic^2 = \text{常量} \Longleftrightarrow \sum_i m_i = \text{常量}$$

能量守恒定律和质量守恒定律是等价的，二者被独立发现，在相对论中被统一起来。但是应该明确，质量守恒指的是相对论运动质量的守恒，而不是静止质量的守恒。

质量亏损

$$E = m_0c^2 + E_k$$ 如果在一个封闭系统中发生了一个变化或反应，反应前后粒子的静止质量由 $m_{0_1}$ 变为 $m_{0_2}$，相应的动能由 $E_{k_1}$ 变为 $E_{k_2}$，则有 $$m_{0_1}c^2 + E_{k_1} = m_{0_2}c^2 + E_{k_2}$$ 即 $$\Delta m_0c^2 = \Delta E_k$$

相对论能量和动量的关系

将 $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ 代入 $E = mc^2$ 和 $p = mv$ 可得 $$E^2 = p^2c^2 + m_0^2c^4$$ 这就是相对论能量和动量之间的关系式