洛伦兹变换

一个事件： $S$ 系中的坐标为 $(x, y, z, t)$， $S’$ 系中的坐标为 $(x’, y’, z’, t’)$，两个系之间的相对速度为 $u$ 满足以下关系：

1. $x$, $y$, $z$ 轴与 $x’$, $y’$, $z’$ 轴平行
2. $S’$ 系相对 $S$ 系沿 $x$ 轴正方向以速度 $u$ 运动
3. 当 $t = t’ = 0$ 时，两个系的坐标原点重合

$$\begin{aligned} \left. \begin{array}{ll} x’ &=& \frac{x-ut}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \newline y’ &=& y \newline z’ &=& z \newline t’ &=& \frac{t-\frac{u}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \end{array} \right \rbrace \quad \leftrightarrows \quad \left\lbrace \begin{array}{ll} x &=& \frac{x’ + ut’}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \newline y &=& y’ \newline z &=& z’ \newline t &=& \frac{t’ + \frac{u}{c^2}x’}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \end{array} \right. \end{aligned}$$

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$$
称为洛伦兹因子。 有 $$x’ = \gamma(x-ut)$$ 根据爱因斯坦相对性原理，两个系之间除了相对速度相反之外，没有其他差别，因此有 $$x = \gamma(x’+ut’)$$

$$x^2 + y^2 + z^2 - c^2t^2 = x’^2 + y’^2 + z’^2 - c^2t’^2 = 0$$

同时性的相对性

在 $S$ 系中，两个事件 $A$ 和 $B$ 在 $x$ 轴上的坐标分别为 $x_A$ 和 $x_B$，在 $S’$ 系中，两个事件的坐标分别为 $x’_A$ 和 $x’_B$，则有 $$x_A = \gamma(x’_A + ut’_A)$$ $$x_B = \gamma(x’_B + ut’_B)$$ 两个事件同时发生的条件是 $t_A = t_B$，即 $t’_A = t’_B$，则有 $$x_A = \gamma(x’_A + ut’_A) = \gamma(x’_B + ut’_B) = x_B$$ 即在 $S$ 系中同时发生的两个事件，在 $S’$ 系中不一定同时发生，这就是同时性的相对性。

因果律

在 $S$ 系中，事件 $A$ 发生在事件 $B$ 之前，即 $t_A < t_B$，则有 $$t’_A = \frac{t_A - \frac{u}{c^2}x_A}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} < \frac{t_B - \frac{u}{c^2}x_B}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} = t’_B$$ 即在 $S’$ 系中，事件 $A$ 同样发生在事件 $B$ 之前，这就是因果律。