一般形式的薛定谔方程

$$\hat{H}\varPsi=i\hbar\frac{\partial\varPsi}{\partial t}$$
其中 $\hat{H}$ 是哈密顿算符，$\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U$ ， $U$ 是势能函数。
对于一维情况，薛定谔方程的一般形式为
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varPsi}{\partial x^2}+U\varPsi=i\hbar\frac{\partial\varPsi}{\partial t}$$

定态薛定谔方程

对于定态，即 $\varPsi(x,t)=\psi(x)e^{-iEt/\hbar}$ ，概率密度 $|\varPsi|^2=\varPsi^*\varPsi = |\psi|^2$ 不随时间变化。
代入薛定谔方程得到
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+U\psi=E\psi$$
即
$$\hat{H}\psi=E\psi$$
称为 $\hat{H}$ 的本征方程， $\psi$ 为本征函数， $E$ 为本征值。

$E=\displaystyle{\frac{p^2}{2m}} + U$ ， $p$ 为动量。 即能量为动能和势能之和。

一维无限深势阱

一维无限深势阱的势能函数为
$$U(x)=\begin{cases}0, & 0<x<a \newline +\infty, & \text{其他}\end{cases}$$
波函数为
$$\psi(x)=\begin{cases}\displaystyle{\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{n\pi x}{a}}, & 0<x<a \newline 0, & \text{其他}\end{cases}$$
由定态薛定谔方程得到能量本征值
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}=E\psi$$
$$E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$$
由
$$E_n=\frac{p_n^2}{2m}$$
得到动量本征值
$$p_n=\frac{n\pi\hbar}{a} = \frac{h}{2a}n$$
故波长为
$$\lambda_n=\frac{h}{p_n}=\frac{2a}{n}$$

一维谐振子

一维谐振子的势能函数为
$$U(x)=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}m\omega^2x^2$$
求得能级公式为
$$E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)=\left(n+\frac{1}{2}\right)h\nu$$

其中基态能量为
$$E_0=\frac{1}{2}h\nu$$
称为零点能。

谐振子的最低能量不等于零，即它永远不能静止不动。

势垒穿透

在势能有限的情况下,微观粒子可以穿过势垒到达另一侧，称“隧道效应”。